Evaluare Națională 2016 · Matematică · subiectul din 30 iunie · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 1

Figura 2 este schița unui teren în formă de dreptunghi $ABCD$ , cu $AB = 150\text{ m}$ , $BC = 100\text{ m}$ . Se consideră punctul $M$ , mijlocul laturii $AB$ și punctul $N$ situat pe segmentul $DM$ , astfel încât $DN = 2MN$ .

Figura 2: dreptunghiul ABCD cu M mijlocul lui AB; N pe DM; diagonala AC trasată punctat prin N.

a)5 p

Arătați că perimetrul dreptunghiului $ABCD$ este egal cu $500\text{ m}$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$P_{ABCD} = 2(AB + BC) = 2(150 + 100) =$ 3 p
$= 2 \cdot 250 = 500\text{ m}$ 2 p

b)5 p

Arătați că punctele $A$ , $N$ și $C$ sunt coliniare.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$DM$ este mediană în $\triangle ADB$ și, cum $N \in (DM)$ astfel încât $DN = 2MN$ , obținem că punctul $N$ este centrul de greutate al $\triangle ADB$ 2 p
$AO$ este mediană în triunghiul $ADB$ , unde $\{O\} = AC \cap BD$ , deci $N \in (AO)$ , adică punctele $A$ , $N$ și $C$ sunt coliniare3 p

c)5 p

Demonstrați că aria triunghiului $AMN$ este egală cu $1250\text{ m}^2$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$AM \parallel DC \Rightarrow \triangle AMN \sim \triangle CND \Rightarrow \dfrac{d(N, AM)}{d(N, DC)} = \dfrac{AM}{DC} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{d(N, AM)}{d(N, AM) + d(N, DC)} = \dfrac{1}{1 + 2}$ , de unde obținem $d(N, AM) = \dfrac{1}{3} \cdot AD = \dfrac{100}{3}\text{ m}$ 3 p
$\mathcal{A}_{\triangle AMN} = \dfrac{d(N, AM) \cdot AM}{2} = \dfrac{\dfrac{100}{3} \cdot 75}{2} = 1250\text{ m}^2$ 2 p

← S II, ex. 5 · Ex. 2 → · Toate exercițiile din EN 2016, subiectul din 30 iunie 2016 (Varianta 09) · Toate de la subiectul III · Simulare de 2 ore

Formulele pentru patrulatere · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$ , cu $AB = 10\text{ cm}$ și $AD = 8\text{ cm}$ . Punctele $M$ , $N$ și $T$ sunt mijloacele segmentelor $BC$ , $CD$ , respectiv $AB$ , iar $Q$ este punctul de intersecție a dreptelor $BN$ și $AM$ .

Paralelogramul ABCD cu M mijlocul lui BC, N mijlocul lui CD, T mijlocul lui AB; sunt trasate AM, BN și TN, iar Q este intersecția dreptelor BN și AM.

Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$ cu $AB = 15\text{ cm}$ . Punctul $M$ aparține segmentului $AB$ , astfel încât $AM = AD = \dfrac{2}{3}AB$ .

Paralelogramul ABCD cu punctul M pe latura AB; dreapta DM intersectează prelungirea laturii BC în punctul N.

Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$ , cu $AB = 6\text{ cm}$ și $BC = 3\text{ cm}$ . Punctul $M$ este mijlocul laturii $AB$ , iar dreptele $AC$ și $DM$ se intersectează în punctul $P$ .

Dreptunghiul ABCD cu M mijlocul laturii AB; diagonala AC și segmentul DM se intersectează în P; T este mijlocul lui CP și segmentul MT este trasat.

Rezolvă →

Patrulatere Linii importante în triunghi Teorema lui Thales și asemănarea Arii și perimetre în plan

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).