Evaluare Națională 2017 · Matematică · simularea națională · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 1

În Figura 2 este reprezentat un triunghi dreptunghic $ABC$ cu $m(\angle BAC) = 90^\circ$ , $AB = 9\text{ cm}$ și $AC = 12\text{ cm}$ . Punctele $M$ și $N$ aparțin laturii $BC$ , punctul $Q$ aparține laturii $AB$ și punctul $P$ aparține laturii $AC$ , astfel încât $BM = MN = NC = MQ = NP$ .

Figura 2: triunghiul ABC dreptunghic în A; M și N pe BC, Q pe AB, P pe AC; patrulaterul MNPQ trasat.

a)5 p

Arătați că perimetrul triunghiului $ABC$ este egal cu $36\text{ cm}$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$BC^2 = AB^2 + AC^2 = 9^2 + 12^2 = 225$ , deci $BC = 15\text{ cm}$ 3 p
$P_{\triangle ABC} = AB + AC + BC = 9 + 12 + 15 = 36\text{ cm}$ 2 p

b)5 p

Arătați că aria triunghiului $PMC$ este egală cu $24\text{ cm}^2$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$PN$ mediană în $\triangle PMC$ și, cum $PN = \dfrac{MC}{2}$ , obținem $\triangle PMC$ dreptunghic în $P$ 2 p
$PM \parallel AB \Rightarrow \triangle PMC \sim \triangle ABC \Rightarrow \dfrac{PM}{AB} = \dfrac{MC}{BC} = \dfrac{PC}{AC}$ , deci $PM = 6\text{ cm}$ și $PC = 8\text{ cm}$ , de unde obținem $\mathcal{A}_{\triangle PMC} = \dfrac{PM \cdot PC}{2} = 24\text{ cm}^2$ 3 p

c)5 p

Demonstrați că patrulaterul $MNPQ$ este romb.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$QM$ mediană în $\triangle QBN$ și $QM = \dfrac{BN}{2}$ , deci $\triangle QBN$ dreptunghic în $Q \Rightarrow NQ \perp AB$ și, cum $AB \perp AC$ și $MP \perp AC$ , obținem $MP \perp NQ$ 2 p
Cum $\triangle QMN$ este isoscel și $MP \perp NQ$ , obținem că punctul $O$ este mijlocul lui $NQ$ , unde $\{O\} = MP \cap NQ$ și, cum $\triangle MNP$ este isoscel și $MP \perp NO$ , punctul $O$ este mijlocul lui $MP$ , deci $MNPQ$ este romb3 p

← S II, ex. 5 · Ex. 2 → · Toate exercițiile din Evaluarea Națională 2017, matematică, simularea pentru clasa a VIII-a · Toate de la subiectul III · Simulare de 2 ore

Formulele pentru relații metrice în triunghiul dreptunghic · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

Evaluarea Națională 2026, iunie · Subiectul III, ex. 4 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cercul de centru $O$ și raza de $6\text{ cm}$ . Punctele $A$ , $B$ , $C$ și $D$ aparțin cercului, astfel încât dreptele $AB$ și $CD$ sunt perpendiculare. Punctul $M$ este mijlocul coardei $AB$ și $OM = 3\text{ cm}$ .

Cercul de centru O cu coarda AB orizontală și coarda CD verticală, perpendiculare; M este mijlocul coardei AB, segmentul OM este trasat.

Rezolvă →Evaluarea Națională 2026, rezervă · Subiectul III, ex. 4 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat triunghiul dreptunghic isoscel $ABC$ , cu $AB = AC$ . Punctul $O$ este mijlocul laturii $BC$ , iar punctele $A$ și $D$ sunt de o parte și de alta a dreptei $BC$ , astfel încât $\angle BDC = 90^\circ$ și $\angle BCD = 60^\circ$ .

Triunghiul dreptunghic isoscel ABC (unghiul drept în A) și triunghiul dreptunghic BDC de cealaltă parte a ipotenuzei BC; O este mijlocul lui BC, E este pe BD și sunt trasate AO, OD și CE.

Rezolvă →Evaluarea Națională 2026, simulare 2 · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$ , dreptunghic în $A$ , cu $AB = 6\text{ cm}$ și $AC = 8\text{ cm}$ . Punctul $Q$ se află pe latura $AB$ , astfel încât $BQ = 2\text{ cm}$ . Paralela prin $Q$ la dreapta $AC$ intersectează dreapta $BC$ în punctul $P$ , punctul $G$ este centrul de greutate al triunghiului $ABC$ și $AG \cap BC = \{M\}$ .

Triunghiul ABC dreptunghic în A; Q pe AB, P pe BC cu QP paralel cu AC; G este centrul de greutate pe mediana AM.

Rezolvă →

Relații metrice în triunghiul dreptunghic Teorema lui Thales și asemănarea Linii importante în triunghi Arii și perimetre în plan Patrulatere

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).