Formule pentru Evaluarea Națională la matematică

Toate formulele de care ai nevoie la EN, pe capitole, de la numere la corpuri geometrice. Lângă fiecare temă găsești exercițiile oficiale în care apare.

Nu le învăța pe toate deodată. Alege tema la care ai test, citește formulele și fă trei exerciții. Așa se lipesc.

Numere

Mulțimi și operații cu mulțimi

$A \cup B$ (reuniunea): elementele care sunt în $A$ sau în $B$ .
$A \cap B$ (intersecția): elementele comune lui $A$ și $B$ .
$A \setminus B$ (diferența): elementele lui $A$ care nu sunt în $B$ .
$A \subset B$ : fiecare element al lui $A$ este și în $B$ . $\operatorname{card} A$ = numărul de elemente ale lui $A$ .

Intervale numerice

$[a, b]$ conține capetele, $(a, b)$ nu le conține, $[a, b)$ îl conține doar pe $a$ .
$x \ge a$ înseamnă $x \in [a, +\infty)$ , iar $x < b$ înseamnă $x \in (-\infty, b)$ .
Intersecția a două intervale e partea comună de pe axă; reuniunea e tot ce acoperă cel puțin unul.
Numerele întregi din $(-2, 3]$ sunt $-1, 0, 1, 2, 3$ .

Operații cu numere naturale

Ordinea operațiilor: întâi puterile, apoi înmulțirile și împărțirile, apoi adunările și scăderile, de la stânga la dreapta.
Parantezele se calculează din interior spre exterior: rotunde, pătrate, acolade.
Împărțirea cu rest: $a = b \cdot c + r$ , cu $r < b$ .

Puteri și reguli de calcul cu puteri

$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ , $\quad a^m : a^n = a^{m-n}$ , $\quad (a^m)^n = a^{m \cdot n}$
$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ , $\quad a^0 = 1$ pentru $a \ne 0$ , $\quad a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$
Ultima cifră a lui $2^n$ se repetă din 4 în 4: 2, 4, 8, 6.
La aceeași bază mai mare decât 1, puterea cu exponentul mai mare e mai mare.

Divizibilitate

Criterii: cu 2, ultima cifră pară; cu 5, ultima cifră 0 sau 5; cu 10, ultima cifră 0; cu 3 sau cu 9, suma cifrelor se divide cu 3, respectiv cu 9.
c.m.m.d.c.: factorii primi comuni, la puterea cea mai mică. c.m.m.m.c.: toți factorii, la puterea cea mai mare.
$(a, b) \cdot [a, b] = a \cdot b$
Un număr prim are exact doi divizori: 1 și el însuși. Numărul 1 nu e prim.

Metode aritmetice de rezolvare a problemelor

Reducerea la unitate: afli cât valorează o bucată, apoi înmulțești.
Mersul invers: pornești de la rezultat și faci operațiile inverse, în ordine inversă.
Falsa ipoteză: presupui că toate obiectele sunt de un fel, apoi corectezi diferența.
Metoda figurativă: reprezinți mărimile prin segmente egale.

Numere întregi

Opusul lui $a$ este $-a$ . Modulul: $|a| = a$ dacă $a \ge 0$ și $|a| = -a$ dacă $a < 0$ .
Semnul produsului: $(+)(+) = (+)$ , $(-)(-) = (+)$ , $(+)(-) = (-)$ .
Pe axă, numărul mai mare e cel mai din dreapta: $-7 < -3 < 0 < 2$ .

Fracții ordinare

$\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{ad + bc}{bd}$ , sau aduci la cel mai mic numitor comun.
$\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{ac}{bd}$ , $\quad \dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c}$
$\dfrac{p}{q}$ din $N$ înseamnă $\dfrac{p}{q} \cdot N$ .
O fracție e ireductibilă când numărătorul și numitorul nu au alt divizor comun în afară de 1.

Fracții zecimale

$0{,}25 = \dfrac{25}{100} = \dfrac{1}{4}$
Periodică simplă: $0{,}(3) = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$ . Periodică mixtă: $0{,}1(6) = \dfrac{16 - 1}{90} = \dfrac{1}{6}$ .
Înmulțirea cu 10, 100, 1000 mută virgula spre dreapta cu 1, 2, 3 poziții.

Procente

$p\%$ din $N$ $= \dfrac{p}{100} \cdot N$
Dacă $p\%$ din $x$ este $a$ , atunci $x = \dfrac{100 \cdot a}{p}$ .
Scumpire cu $p\%$ : prețul nou $= \left(1 + \dfrac{p}{100}\right) \cdot$ prețul vechi. Ieftinire: $\left(1 - \dfrac{p}{100}\right) \cdot$ prețul vechi.
Două scumpiri succesive de 10% nu fac 20%: $1{,}1 \cdot 1{,}1 = 1{,}21$ , adică 21%.

Numere raționale

$\mathbb{Q}$ conține numerele care se pot scrie ca fracție $\dfrac{a}{b}$ , cu $a, b$ întregi și $b \ne 0$ .
Ordinea operațiilor și regulile semnelor sunt aceleași ca la numerele întregi.
$\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\dfrac{b}{a}\right)^{n}$

Radicali

$\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ și $\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ , pentru $a \ge 0$ , $b > 0$
Scoaterea factorilor: $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$
$\sqrt{a^2} = |a|$ și $(\sqrt{a})^2 = a$ pentru $a \ge 0$
Raționalizare: $\dfrac{a}{\sqrt{b}} = \dfrac{a\sqrt{b}}{b}$
$a\sqrt{c} + b\sqrt{c} = (a + b)\sqrt{c}$ , dar radicalii diferiți nu se adună: $\sqrt{2} + \sqrt{3} \ne \sqrt{5}$ .

Numere reale: apartenență, comparare, modul

$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ . Numerele iraționale, ca $\sqrt{2}$ sau $\pi$ , sunt reale, dar nu raționale.
Compari radicali ridicând la pătrat: $3\sqrt{2} = \sqrt{18}$ și $2\sqrt{5} = \sqrt{20}$ , deci $3\sqrt{2} < 2\sqrt{5}$ .
$|x| = a$ , cu $a > 0$ , are soluțiile $x = a$ și $x = -a$ .
Aproximări utile: $\sqrt{2} \approx 1{,}41$ , $\sqrt{3} \approx 1{,}73$ , $\pi \approx 3{,}14$ .

Media aritmetică, ponderată și geometrică

Media aritmetică: $m_a = \dfrac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n}$
Media ponderată: $m_p = \dfrac{a_1 p_1 + a_2 p_2 + \ldots + a_n p_n}{p_1 + p_2 + \ldots + p_n}$
Media geometrică a două numere pozitive: $m_g = \sqrt{a \cdot b}$

Algebră

Calcul algebric

Termenii asemenea au aceeași parte literală: $3x^2 - x^2 = 2x^2$ , dar $3x^2 + 2x$ rămâne așa.
$a(b + c) = ab + ac$ și $(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$
Fracții algebrice: descompui numărătorul și numitorul, apoi simplifici factorii comuni, cu numitorul diferit de 0.

Formule de calcul prescurtat

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$
Truc de calcul: $99^2 = (100 - 1)^2 = 10000 - 200 + 1 = 9801$

Descompunere în factori

Factor comun: $6x^2 + 9x = 3x(2x + 3)$
Diferență de pătrate: $x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)$
Pătrat perfect: $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$
Gruparea termenilor: $ax + ay + bx + by = (a + b)(x + y)$

Ecuații de gradul I

$ax + b = 0$ , cu $a \ne 0$ , are soluția $x = -\dfrac{b}{a}$ .
Poți aduna sau scădea același număr în ambii membri și poți înmulți sau împărți ambii membri cu același număr nenul.
Proporție: $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ înseamnă $a \cdot d = b \cdot c$ .
La final verifici soluția: o înlocuiești în ecuație.

Inecuații de gradul I

Rezolvi ca pe o ecuație, dar când înmulțești sau împarți cu un număr negativ, semnul se schimbă: $-2x > 6 \Rightarrow x < -3$ .
Soluția se scrie ca interval: $x \ge 2 \Rightarrow x \in [2, +\infty)$ .
Dacă se cer soluțiile naturale sau întregi, alegi doar numerele din interval care sunt naturale sau întregi.

Sisteme de ecuații liniare

Substituția: scoți o necunoscută dintr-o ecuație și o înlocuiești în cealaltă.
Reducerea: înmulțești ecuațiile ca o necunoscută să aibă coeficienți opuși, apoi aduni ecuațiile.
Verifici perechea găsită în ambele ecuații.

Probleme rezolvate cu ecuații sau sisteme

Notezi necunoscuta și scrii ce înseamnă (de exemplu $x$ = numărul de copii).
Transformi fiecare propoziție a problemei într-o relație, apoi rezolvi ecuația sau sistemul.
Verifici că rezultatul are sens: un număr de persoane e natural, un preț e pozitiv.

Ecuații de gradul al II-lea

$ax^2 + bx + c = 0$ , cu $a \ne 0$ : calculezi $\Delta = b^2 - 4ac$ .
Dacă $\Delta > 0$ : $x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ . Dacă $\Delta = 0$ : $x = -\dfrac{b}{2a}$ . Dacă $\Delta < 0$ : nu are soluții reale.
Cazuri rapide: $x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$ , iar $x(x - 4) = 0 \Rightarrow x = 0$ sau $x = 4$ .

Funcții

Sistem de axe și coordonate

Punctul $A(x, y)$ : întâi abscisa (pe $Ox$ ), apoi ordonata (pe $Oy$ ).
Distanța: $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$
Mijlocul segmentului: $M\left(\dfrac{x_A + x_B}{2}, \dfrac{y_A + y_B}{2}\right)$

Funcții de forma f(x) = ax + b

Punctul $A(m, n)$ e pe graficul lui $f$ dacă $f(m) = n$ .
Graficul lui $f(x) = ax + b$ e o dreaptă: îl desenezi din două puncte.
Intersecția cu $Oy$ este $(0, b)$ . Pentru intersecția cu $Ox$ rezolvi $f(x) = 0$ .
Intersecția a două grafice: rezolvi $f(x) = g(x)$ .
Dacă $a > 0$ , funcția crește; dacă $a < 0$ , scade.

Dependențe funcționale în situații practice

Fiecărei valori $x$ îi corespunde o singură valoare $f(x)$ , citită din tabel, diagramă sau formulă.
O taxă fixă plus un preț pe bucată se scrie $f(x) = ax + b$ , unde $b$ e partea fixă.

Date și probabilități

Rapoarte și proporții

Proprietatea fundamentală: $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \Rightarrow a \cdot d = b \cdot c$
Termenul necunoscut: $\dfrac{x}{4} = \dfrac{6}{8} \Rightarrow x = \dfrac{4 \cdot 6}{8} = 3$
Scara $1 : 100\,000$ : 1 cm pe hartă înseamnă $100\,000$ cm, adică 1 km în realitate.

Mărimi direct și invers proporționale

Direct proporționale: raportul rămâne același, $\dfrac{a}{x} = \dfrac{b}{y}$ .
Invers proporționale: produsul rămâne același, $a \cdot x = b \cdot y$ .
Împărțire în părți direct proporționale cu 2, 3 și 5: $\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z}{5} = k$ .

Date în tabele, grafice și diagrame

Citește întâi titlul, axele și unitățile de măsură.
Frecvența unei valori = de câte ori apare.
Întrebările cer de obicei un total, o diferență, o medie sau un procent din datele din grafic.

Indicatori statistici

Media = suma valorilor împărțită la numărul lor.
Mediana = valoarea din mijloc după ce le ordonezi; la un număr par de valori, media celor două din mijloc.
Modul = valoarea care apare cel mai des. Amplitudinea = cea mai mare valoare minus cea mai mică.

Probabilități

$P = \dfrac{\text{numărul cazurilor favorabile}}{\text{numărul cazurilor posibile}}$
Probabilitatea e între 0 și 1; evenimentul sigur are probabilitatea 1.
Exemplu: probabilitatea să alegi un număr par dintre 1, 2, ..., 10 este $\dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}$ .

Geometrie plană

Puncte, drepte, segmente

Mijlocul $M$ al segmentului $AB$ : $AM = MB = \dfrac{AB}{2}$ .
Puncte coliniare = situate pe aceeași dreaptă. Prin două puncte distincte trece o singură dreaptă.
$1\text{ m} = 10\text{ dm} = 100\text{ cm}$ , iar $1\text{ m}^2 = 100\text{ dm}^2 = 10\,000\text{ cm}^2$

Unghiuri

Unghiuri complementare: suma $90^\circ$ . Suplementare: suma $180^\circ$ .
Unghiurile opuse la vârf sunt congruente. Unghiurile în jurul unui punct au suma $360^\circ$ .
Bisectoarea împarte unghiul în două unghiuri congruente.
$1^\circ = 60'$

Drepte paralele și perpendiculare în plan

Două paralele tăiate de o secantă: unghiurile alterne interne sunt congruente, iar cele interne de aceeași parte a secantei sunt suplementare.
Distanța de la un punct la o dreaptă = lungimea perpendicularei din punct pe dreaptă.
Orice punct de pe mediatoarea unui segment e egal depărtat de capetele lui.

Triunghiul: proprietăți și congruență

Suma unghiurilor unui triunghi este $180^\circ$ . Unghiul exterior = suma celor două unghiuri interioare neadiacente cu el.
Triunghiul isoscel are unghiurile de la bază congruente; cel echilateral are toate unghiurile de $60^\circ$ .
Criterii de congruență: LUL, ULU, LLL.
Inegalitatea triunghiului: fiecare latură e mai mică decât suma celorlalte două.

Linii importante în triunghi

Centrul de greutate $G$ e pe fiecare mediană, la $\dfrac{2}{3}$ de vârf: $AG = \dfrac{2}{3} AM$ .
Linia mijlocie unește mijloacele a două laturi, e paralelă cu a treia latură și are jumătate din lungimea ei.
Bisectoarele se intersectează în centrul cercului înscris, iar mediatoarele în centrul cercului circumscris.
În triunghiul echilateral, toate aceste linii coincid.

Teorema lui Thales și asemănarea

Thales: o paralelă la o latură determină pe celelalte două laturi segmente proporționale, $\dfrac{AM}{MB} = \dfrac{AN}{NC}$ .
Teorema fundamentală a asemănării: o paralelă la o latură formează un triunghi asemenea cu cel inițial.
Criterii de asemănare: UU, LUL (două laturi proporționale și unghiul dintre ele), LLL.
Raportul ariilor a două triunghiuri asemenea = pătratul raportului de asemănare.

Relații metrice în triunghiul dreptunghic

Pitagora, cu unghiul drept în $A$ : $BC^2 = AB^2 + AC^2$ .
Teorema înălțimii: $AD^2 = BD \cdot DC$ . Teorema catetei: $AB^2 = BD \cdot BC$ .
Înălțimea pe ipotenuză: $AD = \dfrac{AB \cdot AC}{BC}$ .
Cateta opusă unghiului de $30^\circ$ și mediana pe ipotenuză au fiecare jumătate din ipotenuză.

Trigonometrie în triunghiul dreptunghic

$\sin B = \dfrac{\text{cateta opusă}}{\text{ipotenuza}}$ , $\quad \cos B = \dfrac{\text{cateta alăturată}}{\text{ipotenuza}}$
$\operatorname{tg} B = \dfrac{\text{cateta opusă}}{\text{cateta alăturată}}$ , $\quad \operatorname{ctg} B = \dfrac{\text{cateta alăturată}}{\text{cateta opusă}}$
$\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}$ , $\sin 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ , $\sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ , $\operatorname{tg} 45^\circ = 1$ , $\operatorname{tg} 60^\circ = \sqrt{3}$

Patrulatere

Suma unghiurilor unui patrulater convex este $360^\circ$ .
Paralelogramul are laturile opuse paralele și congruente, iar diagonalele se înjumătățesc.
Dreptunghiul are diagonalele congruente, rombul are diagonalele perpendiculare, pătratul le are pe amândouă.
Linia mijlocie a trapezului: $\dfrac{B + b}{2}$ . Trapezul isoscel are diagonalele congruente.

Arii și perimetre în plan

Triunghi: $\dfrac{b \cdot h}{2}$ ; triunghi dreptunghic: $\dfrac{c_1 \cdot c_2}{2}$ ; triunghi echilateral: $\dfrac{\ell^2\sqrt{3}}{4}$
Dreptunghi: $L \cdot \ell$ ; pătrat: $\ell^2$ ; paralelogram: $b \cdot h$
Romb: $\dfrac{d_1 \cdot d_2}{2}$ ; trapez: $\dfrac{(B + b) \cdot h}{2}$
Mediana împarte triunghiul în două triunghiuri cu arii egale.

Cercul

Lungimea cercului: $L = 2\pi r$ . Aria discului: $A = \pi r^2$ .
Unghiul la centru are măsura arcului cuprins; unghiul înscris are jumătate din ea.
Tangenta e perpendiculară pe rază în punctul de tangență.
Unghiul înscris într-un semicerc este drept.

Poligoane regulate înscrise în cerc

Triunghi echilateral înscris în cercul de rază $R$ : $\ell = R\sqrt{3}$ , apotema $a = \dfrac{R}{2}$ .
Pătrat: $\ell = R\sqrt{2}$ , apotema $a = \dfrac{R\sqrt{2}}{2}$ .
Hexagon regulat: $\ell = R$ , apotema $a = \dfrac{R\sqrt{3}}{2}$ , aria $\dfrac{3\ell^2\sqrt{3}}{2}$ .

Geometrie în spațiu

Corpuri geometrice: elemente și desfășurări

Diagonala cubului: $d = \ell\sqrt{3}$ . Diagonala paralelipipedului dreptunghic: $d = \sqrt{L^2 + \ell^2 + h^2}$ .
Piramida regulată are baza poligon regulat, iar înălțimea cade în centrul bazei.
Apotema piramidei, înălțimea și apotema bazei formează un triunghi dreptunghic: $a_p^2 = h^2 + a_b^2$ .
Tetraedrul regulat are toate cele 6 muchii congruente.

Paralelism și perpendicularitate în spațiu

O dreaptă e perpendiculară pe un plan dacă e perpendiculară pe două drepte concurente din acel plan.
O dreaptă care nu e în plan e paralelă cu planul dacă e paralelă cu o dreaptă din plan.
Teorema celor trei perpendiculare: dacă $PA \perp \alpha$ , $A \in \alpha$ , iar $AB \perp d$ , cu $d \subset \alpha$ și $B \in d$ , atunci $PB \perp d$ .
Două plane sunt paralele dacă unul conține două drepte concurente paralele cu celălalt.

Unghiuri în spațiu

Unghiul a două drepte necoplanare = unghiul format de una dintre ele cu o paralelă la cealaltă.
Unghiul dintre o dreaptă și un plan = unghiul dintre dreaptă și proiecția ei pe plan.
Unghiul a două plane: duci în același punct al muchiei câte o perpendiculară pe muchie în fiecare plan și măsori unghiul dintre ele.

Distanțe în spațiu

Distanța de la un punct la un plan = lungimea perpendicularei din punct pe plan.
Calculul care apare cel mai des: înălțimea pe ipotenuză $= \dfrac{c_1 \cdot c_2}{\text{ipotenuza}}$ .
Drumul minim pe suprafața unui corp: desfășori fețele în plan și unești punctele cu un segment.

Arii și volume ale corpurilor

Prismă dreaptă: $A_l = P_b \cdot h$ , $A_t = A_l + 2A_b$ , $V = A_b \cdot h$ .
Piramidă regulată: $A_l = \dfrac{P_b \cdot a_p}{2}$ , $A_t = A_l + A_b$ , $V = \dfrac{A_b \cdot h}{3}$ .
Cub: $A_t = 6\ell^2$ , $V = \ell^3$ . Paralelipiped dreptunghic: $V = L \cdot \ell \cdot h$ .
$1\text{ dm}^3 = 1$ litru, iar $1\text{ m}^3 = 1000$ de litri.

Cilindru, con, sferă

Cilindru circular drept: $A_l = 2\pi R G$ , $A_t = 2\pi R(G + R)$ , $V = \pi R^2 G$ , unde generatoarea $G$ e egală cu înălțimea.
Con circular drept: $A_l = \pi R G$ , $A_t = \pi R(G + R)$ , $V = \dfrac{\pi R^2 h}{3}$ , cu $G^2 = R^2 + h^2$ .
Sferă: $A = 4\pi R^2$ , $V = \dfrac{4\pi R^3}{3}$ .

Trunchi de piramidă și trunchi de con

Trunchi de con: $A_l = \pi G(R + r)$ , $V = \dfrac{\pi h}{3}\left(R^2 + r^2 + Rr\right)$ .
Trunchi de piramidă: $V = \dfrac{h}{3}\left(A_B + A_b + \sqrt{A_B \cdot A_b}\right)$ ; la cel regulat, $A_l = \dfrac{(P_B + P_b) \cdot a_t}{2}$ .
O secțiune paralelă cu baza taie o piramidă (sau un con) asemenea cu cea inițială; raportul volumelor = cubul raportului de asemănare.

Formulele urmează programa pentru Evaluarea Națională 2027 la matematică. Dacă vezi o greșeală, spune-ne.