Evaluare Națională 2019 · Matematică · modelul de subiect · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 2

În Figura 3 este reprezentată o prismă dreaptă $ABCA'B'C'$ cu baza triunghiul echilateral $ABC$ , $AB = 10\text{ cm}$ și $AA' = 12\text{ cm}$ . Punctul $M$ este situat pe muchia $AA'$ astfel încât $AM = 9\text{ cm}$ și punctul $P$ este mijlocul muchiei $AA'$ .

Figura 3: prisma dreaptă triunghiulară ABCA'B'C' cu punctele M și P pe muchia AA'.

a)5 p

Arătați că aria laterală a prismei $ABCA'B'C'$ este egală cu $360\text{ cm}^2$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$\mathcal{A}_{\text{laterală}} = P_{\triangle ABC} \cdot AA' =$ 2 p
$= 3 \cdot 10 \cdot 12 = 360\text{ cm}^2$ 3 p

b)5 p

Arătați că distanța de la punctul $M$ la dreapta $BC$ este egală cu $2\sqrt{39}\text{ cm}$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$MA \perp (ABC)$ , $MN \perp BC$ , unde $N \in BC$ și $BC \subset (ABC)$ , deci $AN \perp BC$ 2 p
$AN$ este înălțime în triunghiul echilateral $ABC \Rightarrow AN = 5\sqrt{3}\text{ cm}$ 1 p
$d(M, BC) = MN = \sqrt{AM^2 + AN^2} = 2\sqrt{39}\text{ cm}$ 2 p

c)5 p

Demonstrați că dreapta $PO$ este paralelă cu planul $(MBC)$ , unde punctul $O$ este centrul cercului circumscris triunghiului $ABC$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$AP = 6\text{ cm}$ și $AM = 9\text{ cm} \Rightarrow \dfrac{AP}{AM} = \dfrac{2}{3}$ și, cum $\dfrac{AO}{AN} = \dfrac{2}{3}$ , obținem $\dfrac{AP}{AM} = \dfrac{AO}{AN}$ 2 p
$PO \parallel MN$ și, cum $MN \subset (MBC)$ , obținem $PO \parallel (MBC)$ 3 p

← Ex. 1 · Toate exercițiile din EN 2019, model de subiect · Toate de la subiectul III · Simulare de 2 ore

Formulele pentru corpuri geometrice: elemente și desfășurări · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă $ABCDA'B'C'D'$ , cu baza pătratul $ABCD$ , $AB = 4\text{ cm}$ și $AA' = 4\sqrt{2}\text{ cm}$ .

Prisma dreaptă ABCDA'B'C'D' cu baza pătratul ABCD; sunt trasate segmentele C'B, C'D și BD (punctat).

Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCDA'B'C'D'$ , cu $AB = 8\text{ cm}$ . Punctele $M$ , $N$ și $P$ sunt mijloacele muchiilor $AD$ , $DC$ , respectiv $DD'$ .

Cubul ABCDA'B'C'D' cu M, N, P mijloacele muchiilor AD, DC și DD'; triunghiul MNP este trasat.

Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată piramida regulată $VABCD$ , cu baza $ABCD$ , $VA = AB = 12\text{ cm}$ . Punctul $M$ este mijlocul muchiei $VA$ , iar punctul $N$ este proiecția punctului $M$ pe planul $(ABC)$ .

Piramida patrulateră regulată VABCD; M este mijlocul muchiei VA, iar N este proiecția lui M pe planul bazei.

Rezolvă →

Corpuri geometrice: elemente și desfășurări Arii și volume ale corpurilor Distanțe în spațiu Paralelism și perpendicularitate în spațiu Relații metrice în triunghiul dreptunghic Teorema lui Thales și asemănarea Linii importante în triunghi

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).