Evaluare Națională 2024 · Matematică · simularea națională · 5 puncte

Subiectul III, exercițiul 5

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$ cu $AB = 15\text{ cm}$ . Punctul $P$ aparține laturii $AB$ , astfel încât $PB = 2AP$ și $O$ este punctul de intersecție a dreptelor $AC$ și $BD$ .

Paralelogramul ABCD cu diagonalele AC și BD, care se intersectează în O; P pe AB, segmentul DP intersectează AC în N.

a)2 p

Arată că lungimea segmentului $AP$ este egală cu $5\text{ cm}$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$AB = 3AP$ 1 p
$3AP = 15$ , de unde obținem $AP = 5\text{ cm}$ 1 p

b)3 p

Determină raportul dintre aria triunghiului $ANP$ și aria triunghiului $DNO$ , unde $N$ este punctul de intersecție a dreptelor $AC$ și $DP$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $\dfrac{1}{3}$

Barem oficial

$\triangle ANP \sim \triangle CND \Rightarrow \dfrac{AN}{CN} = \dfrac{NP}{ND} = \dfrac{AP}{CD} = \dfrac{1}{3}$ , deci $AN = \dfrac{AC}{4}$ și, cum $AO = \dfrac{AC}{2}$ , obținem $AN = NO$ 1 p
$PS \perp AN$ , $S \in AN$ și $DV \perp NO$ , $V \in NO$ și, cum $\triangle SNP \sim \triangle VND$ , obținem $\dfrac{PS}{DV} = \dfrac{NP}{ND} = \dfrac{1}{3}$ 1 p
$\dfrac{\mathcal{A}_{\triangle ANP}}{\mathcal{A}_{\triangle DNO}} = \dfrac{AN \cdot PS / 2}{NO \cdot DV / 2} = \dfrac{AN}{NO} \cdot \dfrac{PS}{DV} = \dfrac{1}{3}$ 1 p

← Ex. 4 · Ex. 6 → · Toate exercițiile din EN 2024, simularea națională · Toate de la subiectul III · Simulare de 2 ore

Formulele pentru patrulatere · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$ , cu $AB = 10\text{ cm}$ și $AD = 8\text{ cm}$ . Punctele $M$ , $N$ și $T$ sunt mijloacele segmentelor $BC$ , $CD$ , respectiv $AB$ , iar $Q$ este punctul de intersecție a dreptelor $BN$ și $AM$ .

Paralelogramul ABCD cu M mijlocul lui BC, N mijlocul lui CD, T mijlocul lui AB; sunt trasate AM, BN și TN, iar Q este intersecția dreptelor BN și AM.

Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$ cu $AB = 15\text{ cm}$ . Punctul $M$ aparține segmentului $AB$ , astfel încât $AM = AD = \dfrac{2}{3}AB$ .

Paralelogramul ABCD cu punctul M pe latura AB; dreapta DM intersectează prelungirea laturii BC în punctul N.

Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$ , cu $AB = 6\text{ cm}$ și $BC = 3\text{ cm}$ . Punctul $M$ este mijlocul laturii $AB$ , iar dreptele $AC$ și $DM$ se intersectează în punctul $P$ .

Dreptunghiul ABCD cu M mijlocul laturii AB; diagonala AC și segmentul DM se intersectează în P; T este mijlocul lui CP și segmentul MT este trasat.

Rezolvă →

Patrulatere Puncte, drepte, segmente Ecuații de gradul I Teorema lui Thales și asemănarea Arii și perimetre în plan

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).