Evaluare Națională 2020 · Matematică · testul de antrenament 40 · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 2

În Figura 3 este reprezentat un dreptunghi $ABCD$ cu $AB = 30\text{ cm}$ , $BC = 40\text{ cm}$ și $MD \perp (ABC)$ astfel încât $MD = 24\text{ cm}$ . Punctele $E$ și $F$ sunt situate pe segmentul $AB$ astfel încât $AE = EF = FB$ și $O$ este punctul de intersecție a dreptelor $AC$ și $BD$ .

Figura 3: dreptunghiul ABCD, cu E și F împărțind AB în trei părți egale, O intersecția diagonalelor și M deasupra lui D, MD perpendiculară pe plan; sunt trasate ME, DE, BD și OF.

a)5 p

Arătați că aria patrulaterului $ABCD$ este egală cu $1200\text{ cm}^2$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$ABCD$ este dreptunghi, deci $\mathcal{A}_{ABCD} = AB \cdot BC$ 3 p
$\mathcal{A}_{ABCD} = 30 \cdot 40 = 1200\text{ cm}^2$ 2 p

b)5 p

Demonstrați că dreapta $OF$ este paralelă cu planul $(MDE)$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$AE = EF = FB$ , deci $\dfrac{BF}{BE} = \dfrac{1}{2}$ . Cum $\dfrac{BO}{BD} = \dfrac{1}{2}$ , obținem $\dfrac{BF}{BE} = \dfrac{BO}{BD}$ , deci $OF \parallel DE$ 3 p
$OF \parallel DE$ și $DE \subset (MDE)$ , deci $OF \parallel (MDE)$ 2 p

c)5 p

Arătați că distanța de la punctul $M$ la dreapta $AC$ este egală cu $24\sqrt{2}\text{ cm}$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$MD \perp (ABC)$ , deci, pentru $DN \perp AC$ , $N \in AC$ , obținem $MN \perp AC$ și $d(M, AC) = MN$ 2 p
$\triangle ADC$ este dreptunghic, deci $AC = 50\text{ cm}$ și $DN = \dfrac{AD \cdot DC}{AC} = 24\text{ cm}$ . Cum $\triangle MDN$ este dreptunghic isoscel, obținem $MN = 24\sqrt{2}\text{ cm}$ 3 p

← Ex. 1 · Toate exercițiile din EN 2020, Test 40 (setul 8) · Toate de la subiectul III · Simulare de 2 ore

Formulele pentru arii și perimetre în plan · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$ , cu $AB = 10\text{ cm}$ și $AD = 8\text{ cm}$ . Punctele $M$ , $N$ și $T$ sunt mijloacele segmentelor $BC$ , $CD$ , respectiv $AB$ , iar $Q$ este punctul de intersecție a dreptelor $BN$ și $AM$ .

Paralelogramul ABCD cu M mijlocul lui BC, N mijlocul lui CD, T mijlocul lui AB; sunt trasate AM, BN și TN, iar Q este intersecția dreptelor BN și AM.

Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 4 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cercul de centru $O$ . Punctele $A$ , $B$ , $C$ și $D$ aparțin cercului, astfel încât $AB$ este diametru. Dreptele $CD$ și $AB$ sunt paralele, semidreapta $AC$ este bisectoarea unghiului $BAD$ și $CD = 16\text{ cm}$ .

Cercul de centru O cu diametrul AB și coarda CD paralelă cu AB; patrulaterul ABCD și diagonala AC sunt trasate.

Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 3 · 5 p

Se consideră funcția $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $f(x) = \dfrac{3}{2}x + 3$ .

Sistem de axe xOy cu graficul funcției f, o dreaptă crescătoare care taie axa Ox la stânga originii și axa Oy deasupra originii.

Rezolvă →

Arii și perimetre în plan Paralelism și perpendicularitate în spațiu Teorema lui Thales și asemănarea Distanțe în spațiu Relații metrice în triunghiul dreptunghic

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).