Evaluare Națională 2019 · Matematică · simularea națională · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 1

În Figura 2 este reprezentat un trapez dreptunghic $ABCD$ , cu $AB \parallel CD$ , $m(\angle BAD) = 90^\circ$ , $AB = 12\text{ cm}$ , $CD = 4\text{ cm}$ și $AD = 8\text{ cm}$ . Punctul $E$ aparține laturii $AB$ , astfel încât $AE = 4\text{ cm}$ și punctul $F$ aparține laturii $AD$ , astfel încât $AF = 6\text{ cm}$ .

Figura 2: trapezul dreptunghic ABCD cu diagonalele AC și BD, care se intersectează în O; E pe AB și F pe AD.

a)5 p

Arătați că aria trapezului $ABCD$ este egală cu $64\text{ cm}^2$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$\mathcal{A}_{ABCD} = \dfrac{(AB + CD) \cdot AD}{2} = \dfrac{(12 + 4) \cdot 8}{2} =$ 3 p
$= \dfrac{16 \cdot 8}{2} = 64\text{ cm}^2$ 2 p

b)5 p

Determinați măsura unghiului $BCD$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $135^\circ$

Barem oficial

$AE \parallel CD$ , $AE = CD \Rightarrow AECD$ paralelogram și, cum $AD \perp AE \Rightarrow AECD$ dreptunghi, deci $m(\angle ECD) = 90^\circ$ 2 p
$BE = CE = 8\text{ cm} \Rightarrow \triangle BCE$ este dreptunghic isoscel, deci $m(\angle BCE) = 45^\circ$ , de unde obținem $m(\angle BCD) = 90^\circ + 45^\circ = 135^\circ$ 3 p

c)5 p

Demonstrați că dreptele $CE$ și $FO$ sunt perpendiculare, unde $\{O\} = AC \cap BD$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$AB \parallel CD \Rightarrow \triangle AOB \sim \triangle COD$ , deci $\dfrac{AO}{CO} = \dfrac{AB}{CD} = 3$ 2 p
$\dfrac{AF}{DF} = 3$ , deci $\dfrac{AF}{DF} = \dfrac{AO}{CO}$ , de unde obținem $FO \parallel CD$ și, cum $CE \perp CD \Rightarrow CE \perp FO$ 3 p

← S II, ex. 5 · Ex. 2 → · Toate exercițiile din EN 2019, simularea pentru clasa a VIII-a · Toate de la subiectul III · Simulare de 2 ore

Formulele pentru patrulatere · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$ , cu $AB = 10\text{ cm}$ și $AD = 8\text{ cm}$ . Punctele $M$ , $N$ și $T$ sunt mijloacele segmentelor $BC$ , $CD$ , respectiv $AB$ , iar $Q$ este punctul de intersecție a dreptelor $BN$ și $AM$ .

Paralelogramul ABCD cu M mijlocul lui BC, N mijlocul lui CD, T mijlocul lui AB; sunt trasate AM, BN și TN, iar Q este intersecția dreptelor BN și AM.

Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$ cu $AB = 15\text{ cm}$ . Punctul $M$ aparține segmentului $AB$ , astfel încât $AM = AD = \dfrac{2}{3}AB$ .

Paralelogramul ABCD cu punctul M pe latura AB; dreapta DM intersectează prelungirea laturii BC în punctul N.

Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$ , cu $AB = 6\text{ cm}$ și $BC = 3\text{ cm}$ . Punctul $M$ este mijlocul laturii $AB$ , iar dreptele $AC$ și $DM$ se intersectează în punctul $P$ .

Dreptunghiul ABCD cu M mijlocul laturii AB; diagonala AC și segmentul DM se intersectează în P; T este mijlocul lui CP și segmentul MT este trasat.

Rezolvă →

Patrulatere Arii și perimetre în plan Relații metrice în triunghiul dreptunghic Teorema lui Thales și asemănarea Drepte paralele și perpendiculare în plan

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).