Evaluarea Națională 2018 la matematică: sesiunea iunie

Varianta 6 · 2 ore · 13 exerciții · 90 de puncte + 10 din oficiu

Subiectul (PDF)Baremul (PDF)

Ca la examen: grilele le alegi aici, restul pe foaie, apoi te corectezi după barem.

Subiectul I (30 de puncte)

1.5 p

Rezultatul calculului $30 - 30 : 3$ este egal cu $\ldots$ .

2.5 p

Zece caiete de același fel costă $40$ de lei. Cinci dintre acestea costă $\ldots$ lei.

3.5 p

Dacă $A = \{1, 2, 3, 4\}$ , $B = \{1, 3, x\}$ și $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ , atunci numărul $x$ este egal cu $\ldots$ .

4.5 p

Un trapez are baza mare de $12\text{ cm}$ și baza mică de $8\text{ cm}$ . Linia mijlocie a acestui trapez are lungimea egală cu $\ldots\text{ cm}$ .

5.5 p

În Figura 1 este reprezentat paralelipipedul dreptunghic $ABCDA'B'C'D'$ cu $AB = 10\text{ cm}$ , $BC = 5\text{ cm}$ și $AA' = 4\text{ cm}$ . Volumul acestui paralelipiped este egal cu $\ldots\text{ cm}^3$ .

Figura 1: paralelipipedul dreptunghic ABCDA'B'C'D'.

6.5 p

În tabelul de mai jos sunt prezentate temperaturile înregistrate la ora 8, la o stație meteo, în fiecare zi a unei săptămâni din luna februarie.

Ziua	luni	marți	miercuri	joi	vineri	sâmbătă	duminică
Temperatura ( $^\circ\text{C}$ )	$-1$	$-8$	$-10$	$-3$	$1$	$3$	$5$

Conform tabelului, media aritmetică a temperaturilor pozitive înregistrate este egală cu $\ldots^\circ\text{C}$ .

Subiectul II (30 de puncte)

1.5 p

Desenați, pe foaia de examen, un cub $ABCDA'B'C'D'$ .

Rezolvă pas cu pas, cu baremul oficial →

2.5 p

Arătați că numărul natural $N = 2^{n+3} - 2^{n+2} + 7 \cdot 2^{n+1} - 2^n$ este divizibil cu $17$ , pentru orice număr natural $n$ .

Rezolvă pas cu pas, cu baremul oficial →

3.5 p

Mai mulți elevi vor să cumpere împreună materiale pentru un proiect școlar. Dacă fiecare elev contribuie cu câte $20$ de lei, mai sunt necesari $20$ de lei pentru cumpărarea materialelor, iar dacă fiecare contribuie cu câte $25$ de lei, rămân $5$ lei după cumpărarea materialelor. Determinați suma necesară pentru cumpărarea materialelor.

Rezolvă pas cu pas, cu baremul oficial →

4.10 p

Se consideră funcția $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $f(x) = 2x + 4$ .

a)5 p

Reprezentați grafic funcția $f$ într-un sistem de coordonate $xOy$ .

Rezolvă pas cu pas, cu baremul oficial →

b)5 p

În sistemul de coordonate $xOy$ se consideră punctul $D(0, -1)$ . Determinați distanța de la punctul $D$ la graficul funcției $f$ .

Rezolvă pas cu pas, cu baremul oficial →

5.5 p

Se consideră expresia $E(x) = \left(\dfrac{x + 1}{x - 3} - \dfrac{2x^2 + 3x - 3}{x^2 - 9} + \dfrac{2x - 1}{x + 3}\right) : \dfrac{2x^2 - 18}{x^2 + 6x + 9}$ , unde $x$ este număr real, $x \neq -3$ și $x \neq 3$ . Arătați că $E(x) = \dfrac{1}{2}$ , pentru orice $x$ număr real, $x \neq -3$ și $x \neq 3$ .

Rezolvă pas cu pas, cu baremul oficial →

Subiectul III (30 de puncte)

1.15 p

În Figura 2 sunt reprezentate un triunghi echilateral $ABC$ cu $AB = 10\text{ cm}$ și un triunghi isoscel $CDE$ cu $CD = DE = 10\text{ cm}$ . Punctul $C$ este situat pe segmentul $BE$ , iar punctele $A$ și $D$ sunt situate de o parte și de alta a dreptei $BE$ astfel încât $m(\angle BCD) = 150^\circ$ . Punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele segmentelor $BC$ , respectiv $CE$ .

Figura 2: triunghiul echilateral ABC deasupra dreptei BE și triunghiul isoscel CDE sub ea; M mijlocul lui BC, N mijlocul lui CE; segmentele AM și DN trasate.

a)5 p

Arătați că unghiul $DCE$ are măsura de $30^\circ$ .

Rezolvă pas cu pas, cu baremul oficial →

b)5 p

Demonstrați că triunghiurile $ACM$ și $CDN$ sunt congruente.

Rezolvă pas cu pas, cu baremul oficial →

c)5 p

Arătați că patrulaterul $AMDN$ are aria mai mică decât $95\text{ cm}^2$ .

Rezolvă pas cu pas, cu baremul oficial →

2.15 p

În Figura 3 este reprezentată o piramidă triunghiulară regulată $VABC$ cu $AB = 12\text{ cm}$ și $VO = 8\text{ cm}$ , unde punctul $O$ este centrul cercului circumscris bazei $ABC$ . Punctele $M$ , $N$ , $P$ și $Q$ sunt mijloacele segmentelor $VA$ , $AB$ , $AC$ și, respectiv, $BC$ .

Figura 3: piramida triunghiulară regulată VABC cu înălțimea VO; M, N, P, Q mijloacele lui VA, AB, AC, BC; segmentele MN, MP, NP și VQ.

a)5 p

Arătați că perimetrul bazei $ABC$ este egal cu $36\text{ cm}$ .

Rezolvă pas cu pas, cu baremul oficial →

b)5 p

Demonstrați că dreapta $VQ$ este paralelă cu planul $(MNP)$ .

Rezolvă pas cu pas, cu baremul oficial →

c)5 p

Determinați numărul real $p$ , știind că volumul piramidei $MANP$ reprezintă $p\%$ din volumul piramidei $VABC$ .

Rezolvă pas cu pas, cu baremul oficial →

Alte subiecte din 2018

Model 2018 Simulare 2018 Rezervă 2018 Toți anii

Sursa: Evaluarea Națională 2018, matematică, sesiunea iunie (Varianta 6), Ministerul Educației (documente oficiale publice). Fișierele provin din arhiva oficială a site-ului subiecte.edu.ro (Internet Archive), identice cu originalele.