Evaluare Națională 2018 · Matematică · sesiunea iunie · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 1

În Figura 2 sunt reprezentate un triunghi echilateral $ABC$ cu $AB = 10\text{ cm}$ și un triunghi isoscel $CDE$ cu $CD = DE = 10\text{ cm}$ . Punctul $C$ este situat pe segmentul $BE$ , iar punctele $A$ și $D$ sunt situate de o parte și de alta a dreptei $BE$ astfel încât $m(\angle BCD) = 150^\circ$ . Punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele segmentelor $BC$ , respectiv $CE$ .

Figura 2: triunghiul echilateral ABC deasupra dreptei BE și triunghiul isoscel CDE sub ea; M mijlocul lui BC, N mijlocul lui CE; segmentele AM și DN trasate.

a)5 p

Arătați că unghiul $DCE$ are măsura de $30^\circ$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$C \in (BE) \Rightarrow m(\angle BCE) = 180^\circ \Rightarrow m(\angle BCD) + m(\angle DCE) = 180^\circ$ 3 p
$m(\angle DCE) = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$ 2 p

b)5 p

Demonstrați că triunghiurile $ACM$ și $CDN$ sunt congruente.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$m(\angle AMC) = 90^\circ$ , $m(\angle CND) = 90^\circ$ 2 p
$AC = CD$ , $m(\angle CAM) = m(\angle DCN) = 30^\circ$ , deci triunghiurile dreptunghice $ACM$ și $CDN$ sunt congruente3 p

c)5 p

Arătați că patrulaterul $AMDN$ are aria mai mică decât $95\text{ cm}^2$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$AM = 5\sqrt{3}\text{ cm}$ , $DN = 5\text{ cm}$ și $MN = 5\left(1 + \sqrt{3}\right)\text{ cm}$ 3 p
$\mathcal{A}_{AMDN} = \dfrac{(AM + DN) \cdot MN}{2} = 25\left(2 + \sqrt{3}\right)\text{ cm}^2$ și, cum $\sqrt{3} < 1{,}8$ , obținem $\mathcal{A}_{AMDN} < 95\text{ cm}^2$ 2 p

← S II, ex. 5 · Ex. 2 → · Toate exercițiile din EN 2018, sesiunea iunie (Varianta 6) · Toate de la subiectul III · Simulare de 2 ore

Formulele pentru triunghiul: proprietăți și congruență · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

EN 2026 model · Subiectul III, ex. 4 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cercul de centru $O$ . Punctele $A$ , $B$ , $C$ și $D$ aparțin cercului, astfel încât $AB$ este diametru. Dreptele $CD$ și $AB$ sunt paralele, semidreapta $AC$ este bisectoarea unghiului $BAD$ și $CD = 16\text{ cm}$ .

Cercul de centru O cu diametrul AB și coarda CD paralelă cu AB; patrulaterul ABCD și diagonala AC sunt trasate.

Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 4 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat triunghiul dreptunghic isoscel $ABC$ , cu $AB = AC$ . Punctul $O$ este mijlocul laturii $BC$ , iar punctele $A$ și $D$ sunt de o parte și de alta a dreptei $BC$ , astfel încât $\angle BDC = 90^\circ$ și $\angle BCD = 60^\circ$ .

Triunghiul dreptunghic isoscel ABC (unghiul drept în A) și triunghiul dreptunghic BDC de cealaltă parte a ipotenuzei BC; O este mijlocul lui BC, E este pe BD și sunt trasate AO, OD și CE.

Rezolvă →EN 2026 simulare 2 · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă $ABCA'B'C'$ , cu baza triunghiul echilateral $ABC$ , $AB = 12\text{ cm}$ și $AA' = 3\sqrt{3}\text{ cm}$ .

Prisma dreaptă triunghiulară ABCA'B'C'; M este mijlocul muchiei AB și segmentul MC' este trasat punctat.

Rezolvă →

Triunghiul: proprietăți și congruență Unghiuri Linii importante în triunghi Arii și perimetre în plan Patrulatere Radicali

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).