Evaluare Națională 2014 · Matematică · testul de antrenament 5 · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 2

Figura 3 reprezintă schematic un acoperiș în formă de piramidă patrulateră regulată $VABCD$ , cu muchia laterală $VA = 26\text{ m}$ și latura bazei $AB = 20\text{ m}$ .

Figura 3: piramida patrulateră regulată VABCD, cu punctele M și E pe muchia VC și segmentele BE, BM, DE, DM trasate.

a)5 p

Calculați aria laterală a piramidei $VABCD$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $960\text{ m}^2$

Barem oficial

Apotema piramidei este de $24\text{ m}$ 2 p
$\mathcal{A}_{\text{laterală}} = \dfrac{4 \cdot 20 \cdot 24}{2} = 960\text{ m}^2$ 3 p

b)5 p

Un alpinist utilitar se deplasează din punctul $B$ spre muchia $CV$ pe drumul cel mai scurt $[BE]$ . Arătați că dreptele $DE$ și $CV$ sunt perpendiculare.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$BE \perp CV$ 2 p
$\triangle BEC \equiv \triangle DEC \Rightarrow \angle DEC \equiv \angle BEC \Rightarrow DE \perp CV$ 3 p

c)5 p

Pentru efectuarea unor reparații, alpinistul utilitar parcurge, în linie dreaptă, traseul de la punctul $E$ la punctul $M \in (CV)$ astfel încât $CM = \dfrac{200}{13}\text{ m}$ și apoi parcurge traseul de la punctul $M$ la punctul $D$ . Calculați lungimea traseului $EM + MD$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $\dfrac{360}{13}\text{ m}$

Barem oficial

$BE = \dfrac{240}{13} \Rightarrow CE = \dfrac{100}{13}$ 2 p
$BE \perp CM$ , $CE = EM \Rightarrow MB = CB = 20\text{ m}$ 2 p
$\triangle BMC \equiv \triangle DMC \Rightarrow MB = MD \Rightarrow EM + DM = \dfrac{360}{13}\text{ m}$ 1 p

← Ex. 1 · Toate exercițiile din EN 2014, test de pregătire 5 · Toate de la subiectul III · Simulare de 2 ore

Formulele pentru corpuri geometrice: elemente și desfășurări · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă $ABCDA'B'C'D'$ , cu baza pătratul $ABCD$ , $AB = 4\text{ cm}$ și $AA' = 4\sqrt{2}\text{ cm}$ .

Prisma dreaptă ABCDA'B'C'D' cu baza pătratul ABCD; sunt trasate segmentele C'B, C'D și BD (punctat).

Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCDA'B'C'D'$ , cu $AB = 8\text{ cm}$ . Punctele $M$ , $N$ și $P$ sunt mijloacele muchiilor $AD$ , $DC$ , respectiv $DD'$ .

Cubul ABCDA'B'C'D' cu M, N, P mijloacele muchiilor AD, DC și DD'; triunghiul MNP este trasat.

Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată piramida regulată $VABCD$ , cu baza $ABCD$ , $VA = AB = 12\text{ cm}$ . Punctul $M$ este mijlocul muchiei $VA$ , iar punctul $N$ este proiecția punctului $M$ pe planul $(ABC)$ .

Piramida patrulateră regulată VABCD; M este mijlocul muchiei VA, iar N este proiecția lui M pe planul bazei.

Rezolvă →

Corpuri geometrice: elemente și desfășurări Arii și volume ale corpurilor Relații metrice în triunghiul dreptunghic Paralelism și perpendicularitate în spațiu Triunghiul: proprietăți și congruență Linii importante în triunghi Distanțe în spațiu

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).