Evaluare Națională 2014 · Matematică · modelul de subiect · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 2

În Figura 3 este reprezentat schematic un cort în formă de piramidă patrulateră regulată $VABCD$ , în care $VA = AB = 4\text{ m}$ . Intersecția diagonalelor $AC$ și $BD$ se notează cu $O$ .

Figura 3: cortul în formă de piramidă patrulateră regulată VABCD.

a)5 p

Arătați că $OA = OV$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$OA = 2\sqrt{2}\text{ m}$ 2 p
$VA^2 = VO^2 + OA^2 \Rightarrow OV = 2\sqrt{2}\text{ m} \Rightarrow OA = OV$ 3 p

b)5 p

Calculați câți metri pătrați de pânză sunt necesari pentru confecționarea cortului, știind că toate fețele sunt din pânză, inclusiv podeaua. Se neglijează pierderile de material.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $16\left(1 + \sqrt{3}\right)\text{ m}^2$

Barem oficial

Lungimea apotemei piramidei este egală cu $2\sqrt{3}\text{ m}$ 2 p
$\mathcal{A}_b = l^2 = 16\text{ m}^2$ 1 p
$\mathcal{A}_l = \dfrac{P_b \cdot a_p}{2} = 16\sqrt{3}\text{ m}^2$ 1 p
$\mathcal{A}_t = \mathcal{A}_b + \mathcal{A}_l = 16 + 16\sqrt{3} = 16\left(1 + \sqrt{3}\right)\text{ m}^2$ 1 p

c)5 p

Determinați distanța de la punctul $O$ la o față laterală a piramidei patrulatere regulate $VABCD$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $\dfrac{2\sqrt{6}}{3}\text{ m}$

Barem oficial

$d(O, (VBC)) = OM$ , unde $M$ este piciorul perpendicularei duse din $O$ pe $VN$ , iar $N$ este mijlocul laturii $BC$ 3 p
$OM = \dfrac{OV \cdot ON}{VN} = \dfrac{2\sqrt{6}}{3}\text{ m}$ 2 p

← Ex. 1 · Toate exercițiile din EN 2014, model de subiect · Toate de la subiectul III · Simulare de 2 ore

Formulele pentru corpuri geometrice: elemente și desfășurări · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă $ABCDA'B'C'D'$ , cu baza pătratul $ABCD$ , $AB = 4\text{ cm}$ și $AA' = 4\sqrt{2}\text{ cm}$ .

Prisma dreaptă ABCDA'B'C'D' cu baza pătratul ABCD; sunt trasate segmentele C'B, C'D și BD (punctat).

Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCDA'B'C'D'$ , cu $AB = 8\text{ cm}$ . Punctele $M$ , $N$ și $P$ sunt mijloacele muchiilor $AD$ , $DC$ , respectiv $DD'$ .

Cubul ABCDA'B'C'D' cu M, N, P mijloacele muchiilor AD, DC și DD'; triunghiul MNP este trasat.

Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată piramida regulată $VABCD$ , cu baza $ABCD$ , $VA = AB = 12\text{ cm}$ . Punctul $M$ este mijlocul muchiei $VA$ , iar punctul $N$ este proiecția punctului $M$ pe planul $(ABC)$ .

Piramida patrulateră regulată VABCD; M este mijlocul muchiei VA, iar N este proiecția lui M pe planul bazei.

Rezolvă →

Corpuri geometrice: elemente și desfășurări Relații metrice în triunghiul dreptunghic Arii și volume ale corpurilor Distanțe în spațiu

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).