Evaluare Națională 2020 · Matematică · testul de antrenament 5 · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 2

În Figura 3 este reprezentată o prismă dreaptă $ABCA'B'C'$ cu baza triunghi echilateral, $AB=12\text{ cm}$ , $AA'=12\sqrt3\text{ cm}$ și punctul $M$ este mijlocul segmentului $A'B$ .

Figura 3: prisma dreaptă triunghiulară ABCA'B'C', cu M mijlocul diagonalei laterale A'B.

a)5 p

Arătați că aria patrulaterului $ABB'A'$ este egală cu $144\sqrt3\text{ cm}^2$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$ABB'A'$ este dreptunghi, deci $\mathcal A_{ABB'A'}=AB\cdot AA'$ 3 p
$12\cdot12\sqrt3=144\sqrt3\text{ cm}^2$ 2 p

b)5 p

Determinați măsura unghiului dintre dreapta $A'B$ și planul $(ABC)$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $60^\circ$

Barem oficial

$A'A\perp(ABC)$ și $AB\subset(ABC)$ , deci unghiul cerut este $\angle A'BA$ 2 p
În triunghiul dreptunghic $ABA'$ , $\operatorname{tg}(\angle A'BA)=AA'/AB=\sqrt3$ , deci unghiul este $60^\circ$ 3 p

c)5 p

Demonstrați că distanța de la punctul $M$ la planul $(ABC)$ este egală cu $6\sqrt3\text{ cm}$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$MN$ este linie mijlocie în triunghiul $A'AB$ , unde $N$ este mijlocul lui $AB$ , deci $MN\parallel AA'$ . Cum $AA'\perp(ABC)$ , rezultă $MN\perp(ABC)$ , deci $MN=d(M,(ABC))$ 3 p
$MN=AA'/2=6\sqrt3\text{ cm}$ 2 p

← Ex. 1 · Toate exercițiile din EN 2020, Test 5 (setul 1) · Toate de la subiectul III · Simulare de 2 ore

Formulele pentru corpuri geometrice: elemente și desfășurări · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

EN 2026 rezervă · Subiectul II, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCDA'B'C'D'$ . Măsura unghiului dreptelor $AC$ și $C'D'$ este egală cu:

Cubul ABCDA'B'C'D' cu diagonala AC a bazei trasată punctat.

Rezolvă →EN 2024 iunie · Subiectul II, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCDA'B'C'D'$ . Unghiul dreptelor $AC$ și $AD'$ are măsura egală cu:

Cubul ABCDA'B'C'D' cu diagonalele de față AC și AD' trasate punctat.

Rezolvă →EN 2023 rezervă · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat paralelipipedul dreptunghic $ABCDA'B'C'D'$ , cu $AB = 2\sqrt{3}\text{ cm}$ , $BC = 2\text{ cm}$ și $AA' = 4\text{ cm}$ . Punctul $M$ este mijlocul segmentului $BC$ .

Paralelipipedul dreptunghic ABCDA'B'C'D' cu M mijlocul muchiei BC; sunt trasate A'C, AB', B'M și AM.

Rezolvă →

Corpuri geometrice: elemente și desfășurări Arii și volume ale corpurilor Arii și perimetre în plan Unghiuri în spațiu Trigonometrie în triunghiul dreptunghic Distanțe în spațiu Linii importante în triunghi

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).