Acasă Bacalaureat Matematică tehnologic Pe teme Limite, continuitate și asimptote Limite, continuitate și asimptote: Matematică tehnologic la Bacalaureat
13 cerințe oficiale din subiectele de Bac. Rezolvi pe loc sau pe caiet, apoi te verifici pe barem.
III.1
f : R → R f:\mathbb R\to\mathbb R f : R → R f ( x ) = 1 / ( x 2 + 4 x + 5 ) f(x)=1/(x^2+4x+5) f ( x ) = 1/ ( x 2 + 4 x + 5 )
III.1.b 5 p Arătați lim x → + ∞ ( x 2 − 1 ) f ( x ) = 1 \lim_{x\to+\infty}(x^2-1)f(x)=1 lim x → + ∞ ( x 2 − 1 ) f ( x ) = 1
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Raportul este ( x 2 − 1 ) / ( x 2 + 4 x + 5 ) (x^2-1)/(x^2+4x+5) ( x 2 − 1 ) / ( x 2 + 4 x + 5 ) 3 p Împarte prin x²: ( 1 − 1 / x 2 ) / ( 1 + 4 / x + 5 / x 2 ) → 1 (1-1/x^2)/(1+4/x+5/x^2)\to1 ( 1 − 1/ x 2 ) / ( 1 + 4/ x + 5/ x 2 ) → 1 2 p Semnalează o greșeală
III.1
Se consideră funcția f : R → R f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} f : R → R f ( x ) = 2 x + 1 x 2 + 6 f(x)=\frac{2x+1}{x^2+6} f ( x ) = x 2 + 6 2 x + 1
III.1.b 5 p Arătați că lim x → + ∞ ( x ⋅ f ( x ) ) = 2 \lim\limits_{x\to+\infty}\left(x\cdot f(x)\right)=2 x → + ∞ lim ( x ⋅ f ( x ) ) = 2
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) lim x → + ∞ ( x ⋅ f ( x ) ) = lim x → + ∞ x ( 2 x + 1 ) x 2 + 6 = lim x → + ∞ x 2 ( 2 + 1 x ) x 2 ( 1 + 6 x 2 ) = \lim\limits_{x\to+\infty}\left(x\cdot f(x)\right)=\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{x(2x+1)}{x^2+6}=\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{x^2\left(2+\frac{1}{x}\right)}{x^2\left(1+\frac{6}{x^2}\right)}= x → + ∞ lim ( x ⋅ f ( x ) ) = x → + ∞ lim x 2 + 6 x ( 2 x + 1 ) = x → + ∞ lim x 2 ( 1 + x 2 6 ) x 2 ( 2 + x 1 ) = 3 p = lim x → + ∞ 2 + 1 x 1 + 6 x 2 = 2 =\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{2+\frac{1}{x}}{1+\frac{6}{x^2}}=2 = x → + ∞ lim 1 + x 2 6 2 + x 1 = 2 2 p Semnalează o greșeală
III.1
Se consideră funcția f : ( 0 , + ∞ ) → R f:(0,+\infty)\to\mathbb{R} f : ( 0 , + ∞ ) → R f ( x ) = 3 x − 1 + 3 ln x f(x)=\frac{3}{x}-1+3\ln x f ( x ) = x 3 − 1 + 3 ln x
III.1.b 5 p Arătați că lim x → + ∞ f ( x ) x = 0 \lim\limits_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=0 x → + ∞ lim x f ( x ) = 0
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) lim x → + ∞ f ( x ) x = lim x → + ∞ f ′ ( x ) x ′ = lim x → + ∞ 3 ( x − 1 ) x 2 = \lim\limits_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{f'(x)}{x'}=\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{3(x-1)}{x^2}= x → + ∞ lim x f ( x ) = x → + ∞ lim x ′ f ′ ( x ) = x → + ∞ lim x 2 3 ( x − 1 ) = 3 p = lim x → + ∞ 3 ( 1 x − 1 x 2 ) = 0 =\lim\limits_{x\to+\infty}3\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}\right)=0 = x → + ∞ lim 3 ( x 1 − x 2 1 ) = 0 2 p Semnalează o greșeală
III.1
Se consideră funcția f : ( − 3 , + ∞ ) → R f:(-3,+\infty)\to\mathbb{R} f : ( − 3 , + ∞ ) → R f ( x ) = x 2 − 5 x + 3 f(x)=\frac{x^2-5}{x+3} f ( x ) = x + 3 x 2 − 5
III.1.c 5 p Determinați ecuația asimptotei oblice la graficul funcției f f f
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: y = x − 3 y=x-3 y = x − 3
Criterii (după barem) lim x → + ∞ f ( x ) x = lim x → + ∞ x 2 − 5 x ( x + 3 ) = lim x → + ∞ 1 − 5 x 2 1 + 3 x = 1 \lim\limits_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{x^2-5}{x(x+3)}=\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{1-\frac{5}{x^2}}{1+\frac{3}{x}}=1 x → + ∞ lim x f ( x ) = x → + ∞ lim x ( x + 3 ) x 2 − 5 = x → + ∞ lim 1 + x 3 1 − x 2 5 = 1 2 p lim x → + ∞ ( f ( x ) − x ) = lim x → + ∞ − 5 − 3 x x + 3 = lim x → + ∞ − 5 x − 3 1 + 3 x = − 3 \lim\limits_{x\to+\infty}\left(f(x)-x\right)=\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{-5-3x}{x+3}=\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{-\frac{5}{x}-3}{1+\frac{3}{x}}=-3 x → + ∞ lim ( f ( x ) − x ) = x → + ∞ lim x + 3 − 5 − 3 x = x → + ∞ lim 1 + x 3 − x 5 − 3 = − 3 y = x − 3 y=x-3 y = x − 3 f f f 3 p Semnalează o greșeală
III.1
Se consideră funcția f : R → R f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} f : R → R f ( x ) = x 3 + 3 x 2 − 24 x + 21 f(x)=x^3+3x^2-24x+21 f ( x ) = x 3 + 3 x 2 − 24 x + 21
III.1.b 5 p Arătați că lim x → 1 x 3 − f ( x ) x 2 − x = 18 \lim\limits_{x\to 1}\frac{x^3-f(x)}{x^2-x}=18 x → 1 lim x 2 − x x 3 − f ( x ) = 18
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) lim x → 1 x 3 − f ( x ) x 2 − x = lim x → 1 − 3 x 2 + 24 x − 21 x 2 − x = lim x → 1 − 3 ( x − 1 ) ( x − 7 ) x ( x − 1 ) = \lim\limits_{x\to 1}\frac{x^3-f(x)}{x^2-x}=\lim\limits_{x\to 1}\frac{-3x^2+24x-21}{x^2-x}=\lim\limits_{x\to 1}\frac{-3(x-1)(x-7)}{x(x-1)}= x → 1 lim x 2 − x x 3 − f ( x ) = x → 1 lim x 2 − x − 3 x 2 + 24 x − 21 = x → 1 lim x ( x − 1 ) − 3 ( x − 1 ) ( x − 7 ) = 3 p = lim x → 1 − 3 ( x − 7 ) x = 18 =\lim\limits_{x\to 1}\frac{-3(x-7)}{x}=18 = x → 1 lim x − 3 ( x − 7 ) = 18 2 p Semnalează o greșeală
III.1
f : ( 0 , + ∞ ) → R f:(0,+\infty)\to\mathbb R f : ( 0 , + ∞ ) → R f ( x ) = 2 x 2 − 2 − ln x f(x)=2x^2-2-\ln x f ( x ) = 2 x 2 − 2 − ln x
III.1.b 5 p Arătați lim x → 1 ( f ( x ) + ln x ) / ( 3 x − 3 ) = 4 / 3 \lim_{x\to1}(f(x)+\ln x)/(3x-3)=4/3 lim x → 1 ( f ( x ) + ln x ) / ( 3 x − 3 ) = 4/3
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Numărătorul este 2 x 2 − 2 = 2 ( x − 1 ) ( x + 1 ) 2x^2-2=2(x-1)(x+1) 2 x 2 − 2 = 2 ( x − 1 ) ( x + 1 ) 3 p Pentru x≠1 reduci x-1, apoi limita este 2(1+1)/3=4/3. 2 p Semnalează o greșeală
III.1
Se consideră funcția f : ( − 4 , + ∞ ) → R f:(-4,+\infty)\to\mathbb{R} f : ( − 4 , + ∞ ) → R f ( x ) = 4 x + 7 x + 4 f(x)=\frac{4x+7}{x+4} f ( x ) = x + 4 4 x + 7
III.1.b 5 p Determinați ecuația asimptotei orizontale spre + ∞ +\infty + ∞ f f f
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: y = 4 y=4 y = 4
Criterii (după barem) lim x → + ∞ f ( x ) = lim x → + ∞ 4 x + 7 x + 4 = lim x → + ∞ 4 + 7 x 1 + 4 x = 4 \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{4x+7}{x+4}=\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{4+\frac{7}{x}}{1+\frac{4}{x}}=4 x → + ∞ lim f ( x ) = x → + ∞ lim x + 4 4 x + 7 = x → + ∞ lim 1 + x 4 4 + x 7 = 4 3 p Dreapta de ecuație y = 4 y=4 y = 4 + ∞ +\infty + ∞ f f f 2 p Semnalează o greșeală
III.1
f : ( 2 , + ∞ ) → R f:(2,+\infty)\to\mathbb R f : ( 2 , + ∞ ) → R f ( x ) = e x / ( x 2 − 3 ) f(x)=e^x/(x^2-3) f ( x ) = e x / ( x 2 − 3 )
III.1.b 5 p Arătați lim x → + ∞ x f ( x ) / e x = 0 \lim_{x\to+\infty}xf(x)/e^x=0 lim x → + ∞ x f ( x ) / e x = 0
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Raportul se simplifică la x/(x²-3). 3 p Împarte prin x²: (1/x)/(1-3/x²)→0. 2 p Semnalează o greșeală
III.1
Se consideră funcția f : R → R f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} f : R → R f ( x ) = x x 2 + 1 f(x)=\frac{x}{x^2+1} f ( x ) = x 2 + 1 x
III.1.b 5 p Arătați că lim x → + ∞ x f ( x ) = 1 \lim\limits_{x\to+\infty}xf(x)=1 x → + ∞ lim x f ( x ) = 1
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) lim x → + ∞ x f ( x ) = lim x → + ∞ x 2 x 2 + 1 = lim x → + ∞ x 2 x 2 ( 1 + 1 x 2 ) = \lim\limits_{x\to+\infty}xf(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{x^2}{x^2+1}=\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{x^2}{x^2\left(1+\frac{1}{x^2}\right)}= x → + ∞ lim x f ( x ) = x → + ∞ lim x 2 + 1 x 2 = x → + ∞ lim x 2 ( 1 + x 2 1 ) x 2 = 3 p = lim x → + ∞ 1 1 + 1 x 2 = 1 =\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{1}{1+\frac{1}{x^2}}=1 = x → + ∞ lim 1 + x 2 1 1 = 1 2 p Semnalează o greșeală
III.1
Se consideră funcția f : R → R f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} f : R → R f ( x ) = x 2 x 2 + 1 f(x)=\frac{x^2}{x^2+1} f ( x ) = x 2 + 1 x 2
III.1.b 5 p Determinați ecuația asimptotei orizontale spre + ∞ +\infty + ∞ f f f
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: y = 1 y=1 y = 1
Criterii (după barem) lim x → + ∞ f ( x ) = lim x → + ∞ x 2 x 2 + 1 = lim x → + ∞ x 2 x 2 ( 1 + 1 x 2 ) = 1 \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{x^2}{x^2+1}=\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{x^2}{x^2\left(1+\frac{1}{x^2}\right)}=1 x → + ∞ lim f ( x ) = x → + ∞ lim x 2 + 1 x 2 = x → + ∞ lim x 2 ( 1 + x 2 1 ) x 2 = 1 3 p Dreapta de ecuație y = 1 y=1 y = 1 + ∞ +\infty + ∞ f f f 2 p Semnalează o greșeală
III.1
f : ( − 2 , + ∞ ) → R f:(-2,+\infty)\to\mathbb R f : ( − 2 , + ∞ ) → R f ( x ) = ( x 2 − 2 x + 1 ) / ( x + 2 ) f(x)=(x^2-2x+1)/(x+2) f ( x ) = ( x 2 − 2 x + 1 ) / ( x + 2 )
III.1.b 5 p Arătați lim x → + ∞ f ( x ) / e x = 0 \lim_{x\to+\infty}f(x)/e^x=0 lim x → + ∞ f ( x ) / e x = 0
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Scrie raportul ca x/e^x-4/e^x+9/((x+2)e^x). 3 p Fiecare termen tinde la zero; pentru x/e^x poți aplica l’Hospital. Rezultatul este 0. 2 p Semnalează o greșeală
III.1
f ( x ) = x 3 + 6 x 2 − 15 x + 9 f(x)=x^3+6x^2-15x+9 f ( x ) = x 3 + 6 x 2 − 15 x + 9 x ∈ R x\in\mathbb R x ∈ R
III.1.c 5 p Arătați lim x → + ∞ f ′ ( x ) / ( e x f ′ ′ ( x ) ) = 0 \lim_{x\to+\infty}f\prime(x)/(e^xf\prime\prime(x))=0 lim x → + ∞ f ′ ( x ) / ( e x f ′′ ( x )) = 0
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Raportul este (x²+4x-5)/(2(x+2)e^x). Îl scrii ca x 2 + 4 x − 5 2 x ( x + 2 ) ⋅ x e x \frac{x^2+4x-5}{2x(x+2)}\cdot\frac{x}{e^x} 2 x ( x + 2 ) x 2 + 4 x − 5 ⋅ e x x 3 p Primul factor tinde la 1/2, iar x/e^x→0 prin l’Hospital. Produsul tinde la 0. 2 p Semnalează o greșeală
III.1
f ( x ) = ( x − 1 ) e x − x 2 / 2 f(x)=(x-1)e^x-x^2/2 f ( x ) = ( x − 1 ) e x − x 2 /2 x ∈ R x\in\mathbb R x ∈ R
III.1.b 5 p Arătați lim x → 0 ( f ( x ) − f ( 0 ) ) / x 2 = 0 \lim_{x\to0}(f(x)-f(0))/x^2=0 lim x → 0 ( f ( x ) − f ( 0 )) / x 2 = 0
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) f(0)=-1; raportul este de tip 0/0. Prin l’Hospital obții f′(x)/(2x). 2 p Pentru x≠0, acesta este (e^x-1)/2, care tinde la 0. 3 p Semnalează o greșeală
Încă 5
Vrei să-ți scriem când apare ceva nou pentru Bacalaureat?
Îți scriem când punem subiecte oficiale noi explicate, în ziua examenului cu grila și rezultatele și, rar, când avem nevoie de ajutorul tău. Cel mult 2 emailuri pe lună, plus zilele de examen. Doar despre Bacalaureat.
Gata! Ți-am trimis un email de confirmare. Dacă nu-l vezi, uită-te și în Promoții sau Spam.