Acasă Bacalaureat Matematică tehnologic 2022 modelul oficial Bacalaureat 2022 la matematică tehnologic: modelul oficial
Subiectul oficial tehnologic, modelul oficial 2022, cu baremul. Rezolvi pe caiet, scrii rezultatul unde se poate, apoi te verifici pe barem, pas cu pas.
3 ore · 90 de puncte + 10 din oficiu
Pe timp, ca la examen
Simulare de 3 ore
Subiectul I · 1 oră Subiectul II · 1 oră Subiectul III · 1 oră
Ceasul merge și dacă închizi pagina. Poți lua o singură pauză. La final, nota estimată după barem.
Subiectul I Subiectul al II-lea Subiectul al III-lea
Mod examen --:-- Pauză Renunț Predau
Subiectul I 30 p I.1 5 p Arătați ( 8 + 1 ) ( 2 2 − 1 ) − 36 = 1 (\sqrt8+1)(2\sqrt2-1)-\sqrt{36}=1 ( 8 + 1 ) ( 2 2 − 1 ) − 36 = 1
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) √8=2√2 și √36=6. Produsul conjugatelor este (2√2)²-1=7. 3 p Scăzând 6 obții 1. 2 p Semnalează o greșeală
I.2 5 p f(x)=5x-1,g(x)=5+2x. Determinați intersecția graficelor.
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: P ( 2 , 9 ) P(2,9) P ( 2 , 9 )
Criterii (după barem) Egalează 5x-1=5+2x: 3x=6, deci x=2. 2 p Ordonata este 5·2-1=9, deci P(2,9). 3 p Semnalează o greșeală
I.3 5 p Rezolvați x 2 + 6 x = x \sqrt{x^2+6x}=x x 2 + 6 x = x
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: x = 0 x=0 x = 0
Criterii (după barem) Membrul drept trebuie să fie nenegativ, deci x≥0; atunci radicandul este admis. 3 p Prin pătrare 6x=0, deci x=0. Acesta verifică ecuația inițială. 2 p Semnalează o greșeală
I.4 5 p Alegi n uniform din {0,1,...,9}. Probabilitatea ca 4n să fie tot în mulțime?
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: 3 / 10 3/10 3/10
Criterii (după barem) Condiția 0≤4n≤9 dă n=0,1,2. 2 p Sunt trei cazuri din zece, deci p=3/10. 2 p Sunt trei cazuri din zece, deci p=3/10. 1 p Semnalează o greșeală
I.5 5 p A(2,1),B(3,4), A mijlocul BC. Arătați AOC dreptunghic isoscel.
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) C=2A-B=(1,-2). Vectorii OA=(2,1),OC=(1,-2) au lungimile √5 și √5. 2 p Produsul scalar este 2-2=0. Laturile egale sunt perpendiculare în O. 3 p Semnalează o greșeală
I.6 5 p ABC ascuțitunghic, sin 30 ∘ sin A = cos 60 ∘ cos A \sin30^\circ\sin A=\cos60^\circ\cos A sin 3 0 ∘ sin A = cos 6 0 ∘ cos A
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: 1
Criterii (după barem) sin30°=cos60°=1/2, deci sin A=cos A. 2 p A este ascuțit, cos A>0; împărțind obții tg A=1. 3 p Semnalează o greșeală
Subiectul al II-lea 30 p II.1
A = ( 3 − 6 2 − 3 ) A=\begin{pmatrix}3&-6\\2&-3\end{pmatrix} A = ( 3 2 − 6 − 3 ) B ( a ) = ( 0 a − 2 1 3 a ) B(a)=\begin{pmatrix}0&a-2\\1&3a\end{pmatrix} B ( a ) = ( 0 1 a − 2 3 a ) a ∈ R a\in\mathbb R a ∈ R I 2 I_2 I 2
II.1.a 5 p Arătați det A = 3 \det A=3 det A = 3
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Determinantul este -9-(-12). 3 p -9+12=3. 2 p Semnalează o greșeală
II.1.b 5 p Determinați x cu A 2 + A = 2 B ( x ) A^2+A=2B(x) A 2 + A = 2 B ( x )
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: x = − 1 x=-1 x = − 1
Criterii (după barem) A²=-3I₂, deci A²+A=[[0,-6],[2,-6]]. 2 p Compararea cu 2B(x) dă 2x-4=-6 și 6x=-6, ambele impun x=-1. 3 p Semnalează o greșeală
II.1.c 5 p Determinați a cu det ( B ( a ) A + B ( 3 a ) ) = 4 \det(B(a)A+B(3a))=4 det ( B ( a ) A + B ( 3 a )) = 4
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: a = 1 / 9 a=1/9 a = 1/9
Criterii (după barem) Matricea este [[2a-4,4],[6a+4,-6]]. Determinantul este 8-36a. 3 p 8-36a=4 dă a=4/36=1/9. 2 p Semnalează o greșeală
II.2
Pe R \mathbb R R x ∗ y = ( x y + 1 ) ( x + y ) x*y=(xy+1)(x+y) x ∗ y = ( x y + 1 ) ( x + y )
II.2.a 5 p Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) (1·2+1)(1+2)=3·3. 3 p Rezultatul este 9. 2 p Semnalează o greșeală
II.2.b 5 p Arătați că e=0 este element neutru.
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) x*0=(0+1)(x+0)=x. 2 p Formula este simetrică în x,y, deci și 0*x=x, pentru orice real x. 3 p Semnalează o greșeală
II.2.c 5 p Determinați n naturale nenule cu n ∗ ( 1 / n ) n*(1/n) n ∗ ( 1/ n )
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: n ∈ { 1 , 2 } n\in\{1,2\} n ∈ { 1 , 2 }
Criterii (după barem) Valoarea este 2(n+1/n)=2n+2/n. 2 p Cum 2n este întreg, trebuie ca n să dividă 2. Divizorii naturali pozitivi sunt 1 și 2. 3 p Semnalează o greșeală
Subiectul al III-lea 30 p III.1
f ( x ) = ( x − 1 ) e x − x 2 / 2 f(x)=(x-1)e^x-x^2/2 f ( x ) = ( x − 1 ) e x − x 2 /2 x ∈ R x\in\mathbb R x ∈ R
III.1.a 5 p Arătați f ′ ( x ) = x ( e x − 1 ) f\prime(x)=x(e^x-1) f ′ ( x ) = x ( e x − 1 )
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Derivata primului termen este e^x+(x-1)e^x=xe^x. 3 p Scăzând derivata lui x²/2, obții xe^x-x=x(e^x-1). 2 p Semnalează o greșeală
III.1.b 5 p Arătați lim x → 0 ( f ( x ) − f ( 0 ) ) / x 2 = 0 \lim_{x\to0}(f(x)-f(0))/x^2=0 lim x → 0 ( f ( x ) − f ( 0 )) / x 2 = 0
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) f(0)=-1; raportul este de tip 0/0. Prin l’Hospital obții f′(x)/(2x). 2 p Pentru x≠0, acesta este (e^x-1)/2, care tinde la 0. 3 p Semnalează o greșeală
III.1.c 5 p Arătați f ( x ) ≤ f ( x 2 ) f(x)\le f(x^2) f ( x ) ≤ f ( x 2 )
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) x și e^x-1 au același semn, deci f′(x)≥0 pe R. Astfel f este crescătoare. 2 p Pentru x≤0, x≤x²; monotonia implică f(x)≤f(x²). 3 p Semnalează o greșeală
III.2
f : ( − 4 , + ∞ ) → R f:(-4,+\infty)\to\mathbb R f : ( − 4 , + ∞ ) → R f ( x ) = 4 x / ( x + 4 ) f(x)=4x/(x+4) f ( x ) = 4 x / ( x + 4 )
III.2.a 5 p Arătați ∫ 1 2 ( x + 4 ) f ( x ) d x = 6 \int_1^2(x+4)f(x)\,dx=6 ∫ 1 2 ( x + 4 ) f ( x ) d x = 6
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Integrandul este 4x. 3 p [2x²]₁²=8-2=6. 2 p Semnalează o greșeală
III.2.b 5 p Arătați ∫ 1 4 f ( x 2 ) / x d x = 4 ln 2 \int_1^4 f(x^2)/x\,dx=4\ln2 ∫ 1 4 f ( x 2 ) / x d x = 4 ln 2
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Integrandul este 4x/(x²+4), cu primitiva 2ln(x²+4). 3 p Evaluând: 2ln20-2ln5=2ln4=4ln2. 2 p Semnalează o greșeală
III.2.c 5 p Demonstrați că orice primitivă F a lui f este convexă.
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) F′=f, deci F″=f′=16/(x+4)². 2 p Această valoare este pozitivă pe (-4,+∞), deci fiecare primitivă este strict convexă, indiferent de constanta sa. 3 p Semnalează o greșeală
Vrei să-ți scriem când apare ceva nou pentru Bacalaureat?
Îți scriem când punem subiecte oficiale noi explicate, în ziua examenului cu grila și rezultatele și, rar, când avem nevoie de ajutorul tău. Cel mult 2 emailuri pe lună, plus zilele de examen. Doar despre Bacalaureat.
Gata! Ți-am trimis un email de confirmare. Dacă nu-l vezi, uită-te și în Promoții sau Spam.