Bacalaureat 2023 la matematică tehnologic: examenul din vară

Subiectul oficial tehnologic, examenul din vară 2023, cu baremul. Rezolvi pe caiet, scrii rezultatul unde se poate, apoi te verifici pe barem, pas cu pas.

3 ore · 90 de puncte + 10 din oficiu

Subiectul (PDF)Baremul (PDF)

Pe timp, ca la examen

Ceasul merge și dacă închizi pagina. Poți lua o singură pauză. La final, nota estimată după barem.

Subiectul ISubiectul al II-leaSubiectul al III-lea

Subiectul I 30 p

I.15 p

Arătați 3(1+1/2)−1/2=43(1+1/2)-1/2=4.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. Paranteza este 3/2, deci produsul 9/2.3 p
  2. 9/2-1/2=8/2=4.2 p

I.25 p

f(x)=x+2. Determinați a cu f(a)=6.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a=4a=4

Criterii (după barem)

  1. a+2=6.2 p
  2. Scade 2: a=4.3 p

I.35 p

Rezolvați log⁡7(2x+1)=log⁡79\log_7(2x+1)=\log_7 9.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x=4x=4

Criterii (după barem)

  1. Domeniul cere x>-1/2. Egalează argumentele: 2x+1=9.3 p
  2. 2x=8, deci x=4, admis.2 p

I.45 p

Alegi n uniform din {1,2,...,23}. Probabilitatea ca n≥10?

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: 14/2314/23

Criterii (după barem)

  1. Favorabile sunt numerele 10,...,23, adică 23-10+1=14.2 p
  2. Sunt 23 de cazuri posibile, deci p=14/23.3 p

I.55 p

Determinați mijlocul lui AB, A(-1,2),B(1,6).

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: M(0,4)M(0,4)

Criterii (după barem)

  1. Abscisa mijlocului este (-1+1)/2=0.3 p
  2. Ordonata este (2+6)/2=4, deci M(0,4).2 p

I.65 p

ABC dreptunghic în A, AC=2AC=\sqrt2, BC=2. Arătați isoscel.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. Pitagora dă AB²=BC²-AC²=4-2=2.3 p
  2. AB=√2=AC, deci triunghiul este isoscel.2 p

Subiectul al II-lea 30 p

II.1

A=(3221)A=\begin{pmatrix}3&2\\2&1\end{pmatrix}, B=(0442)B=\begin{pmatrix}0&4\\4&2\end{pmatrix}, C=(−1221)C=\begin{pmatrix}-1&2\\2&1\end{pmatrix}.

II.1.a5 p

Arătați det⁡A=−1\det A=-1.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. Aplică ad-bc: 3·1-2·2.3 p
  2. Rezultatul este 3-4=-1.2 p

II.1.b5 p

Arătați 2B−A=3C2B-A=3C.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. Diferența este [[-3,6],[6,3]].3 p
  2. Aceasta este de trei ori [[-1,2],[2,1]], deci 3C.2 p

II.1.c5 p

Determinați X cu 2XA=B+2C2XA=B+2C.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: X=(9−1402)X=\begin{pmatrix}9&-14\\0&2\end{pmatrix}

Criterii (după barem)

  1. det A=-1 și A^-1=[[-1,2],[2,-3]]. Jumătate din B+2C este [[-1,4],[4,2]].3 p
  2. Înmulțește această matrice la dreapta cu A^-1: X=[[9,-14],[0,2]], unic.2 p

II.2

Pe R\mathbb R, x∗y=(x−4)(y−4)+4x*y=(x-4)(y-4)+4.

II.2.a5 p

Arătați 5∗4=45*4=4.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. Produsul (5-4)(4-4) este zero.3 p
  2. Adăugarea lui 4 dă 4.2 p

II.2.b5 p

Determinați x cu x∗6=6xx*6=6x.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x=−1x=-1

Criterii (după barem)

  1. x*6=2(x-4)+4=2x-4.3 p
  2. 2x-4=6x dă 4x=-4, deci x=-1.2 p

II.2.c5 p

Determinați n naturale nenule cu (4/n)∗n>4(4/n)*n>4.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: n∈{2,3}n\in\{2,3\}

Criterii (după barem)

  1. Inegalitatea devine (4/n-4)(n-4)>0. Pentru n>0, aceasta este (n-1)(n-4)<0.2 p
  2. Deci 1<n<4, iar naturalele sunt 2 și 3.3 p

Subiectul al III-lea 30 p

III.1

f(x)=x3+6x2−15x+9f(x)=x^3+6x^2-15x+9, x∈Rx\in\mathbb R.

III.1.a5 p

Arătați f′(x)=3(x2+4x−5)f\prime(x)=3(x^2+4x-5).

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. Derivând termenii obții 3x²+12x-15.3 p
  2. Scoate factorul 3: 3(x²+4x-5).2 p

III.1.b5 p

Determinați intervalele de monotonie ale lui f.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: Crește pe (-∞,-5] și [1,+∞); scade pe [-5,1]

Criterii (după barem)

  1. f′=3(x+5)(x-1). Semnul este pozitiv în afara rădăcinilor și negativ între ele.2 p
  2. Rezultă creștere până la -5, descreștere de la -5 la 1 și creștere după 1.3 p

III.1.c5 p

Arătați lim⁡x→+∞f′(x)/(exf′′(x))=0\lim_{x\to+\infty}f\prime(x)/(e^xf\prime\prime(x))=0.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. Raportul este (x²+4x-5)/(2(x+2)e^x). Îl scrii ca x2+4x−52x(x+2)⋅xex\frac{x^2+4x-5}{2x(x+2)}\cdot\frac{x}{e^x}.3 p
  2. Primul factor tinde la 1/2, iar x/e^x→0 prin l’Hospital. Produsul tinde la 0.2 p

III.2

f:(−9,+∞)→Rf:(-9,+\infty)\to\mathbb R, f(x)=8x/(x+9)f(x)=8x/(x+9).

III.2.a5 p

Arătați ∫01(x+9)f(x) dx=4\int_0^1(x+9)f(x)\,dx=4.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. Integrandul este 8x.3 p
  2. [4x²]₀¹=4.2 p

III.2.b5 p

Arătați ∫16f(x)/(8x) dx=ln⁡(3/2)\int_1^6f(x)/(8x)\,dx=\ln(3/2).

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. Integrandul se reduce la 1/(x+9).3 p
  2. [ln(x+9)]₁⁶=ln15-ln10=ln(3/2).2 p

III.2.c5 p

Determinați a cu ∫03f(x2) dx=6(4+aπ)\int_0^3 f(x^2)\,dx=6(4+a\pi).

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a=−1a=-1

Criterii (după barem)

  1. f(x²)=8x²/(x²+9)=8-72/(x²+9). Primitiva este 8x-24arctan(x/3).3 p
  2. Evaluând: 24-24·π/4=24-6π=6(4-π), deci a=-1.2 p
Ai terminat? Bifează pe barem ce ai făcut și află câte puncte ai fi luat. Alte subiecte Matematică tehnologic.