Acasă Bacalaureat Matematică tehnologic Pe teme Polinoame, divizibilitate și rădăcini Polinoame, divizibilitate și rădăcini: Matematică tehnologic la Bacalaureat
21 de cerințe oficiale din subiectele de Bac; aici sunt cele mai noi 20. Rezolvi pe loc sau pe caiet, apoi te verifici pe barem.
II.2
Se consideră polinomul f = X 3 − 4 X 2 + a X − 2 f=X^3-4X^2+aX-2 f = X 3 − 4 X 2 + a X − 2 a a a
II.2.a 5 p Pentru a = 5 a=5 a = 5 f ( 1 ) = 0 f(1)=0 f ( 1 ) = 0
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) f = X 3 − 4 X 2 + 5 X − 2 ⇒ f ( 1 ) = 1 3 − 4 ⋅ 1 2 + 5 ⋅ 1 − 2 = f=X^3-4X^2+5X-2\Rightarrow f(1)=1^3-4\cdot 1^2+5\cdot 1-2= f = X 3 − 4 X 2 + 5 X − 2 ⇒ f ( 1 ) = 1 3 − 4 ⋅ 1 2 + 5 ⋅ 1 − 2 = 3 p = 1 − 4 + 5 − 2 = 0 =1-4+5-2=0 = 1 − 4 + 5 − 2 = 0 2 p Semnalează o greșeală
II.2.b 5 p Pentru a = 3 a=3 a = 3 x 1 x 2 x 3 + 2 x 1 x 2 + 2 x 1 x 3 + 2 x 2 x 3 = 8 x_1x_2x_3+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3=8 x 1 x 2 x 3 + 2 x 1 x 2 + 2 x 1 x 3 + 2 x 2 x 3 = 8 x 1 x_1 x 1 x 2 x_2 x 2 x 3 x_3 x 3 f f f
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = 3 x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=3 x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = 3 x 1 x 2 x 3 = 2 x_1x_2x_3=2 x 1 x 2 x 3 = 2 2 p x 1 x 2 x 3 + 2 x 1 x 2 + 2 x 1 x 3 + 2 x 2 x 3 = x 1 x 2 x 3 + 2 ( x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 ) = 2 + 2 ⋅ 3 = 8 x_1x_2x_3+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3=x_1x_2x_3+2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)=2+2\cdot 3=8 x 1 x 2 x 3 + 2 x 1 x 2 + 2 x 1 x 3 + 2 x 2 x 3 = x 1 x 2 x 3 + 2 ( x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 ) = 2 + 2 ⋅ 3 = 8 3 p Semnalează o greșeală
II.2.c 5 p Se consideră polinoamele g = X − 3 g=X-3 g = X − 3 h = X + 2 h=X+2 h = X + 2 a a a f f f g g g g g g h h h
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: a = 2 a=2 a = 2
Criterii (după barem) g ( − 2 ) = − 5 g(-2)=-5 g ( − 2 ) = − 5 f ( 3 ) = 3 a − 11 f(3)=3a-11 f ( 3 ) = 3 a − 11 a a a 3 p 3 a − 11 = − 5 3a-11=-5 3 a − 11 = − 5 a = 2 a=2 a = 2 2 p Semnalează o greșeală
II.2
Se consideră polinomul f = X 3 − 3 X 2 − 2 X + m f=X^3-3X^2-2X+m f = X 3 − 3 X 2 − 2 X + m m m m
II.2.a 5 p Pentru m = 9 m=9 m = 9 f ( − 1 ) = 7 f(-1)=7 f ( − 1 ) = 7
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) f = X 3 − 3 X 2 − 2 X + 9 ⇒ f ( − 1 ) = ( − 1 ) 3 − 3 ⋅ ( − 1 ) 2 − 2 ( − 1 ) + 9 = f=X^3-3X^2-2X+9\Rightarrow f(-1)=(-1)^3-3\cdot(-1)^2-2(-1)+9= f = X 3 − 3 X 2 − 2 X + 9 ⇒ f ( − 1 ) = ( − 1 ) 3 − 3 ⋅ ( − 1 ) 2 − 2 ( − 1 ) + 9 = 3 p = − 1 − 3 + 2 + 9 = 7 =-1-3+2+9=7 = − 1 − 3 + 2 + 9 = 7 2 p Semnalează o greșeală
II.2.b 5 p Determinați numărul real m m m 2 2 2 f f f
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: m = 8 m=8 m = 8
Criterii (după barem) f ( 2 ) = − 8 + m f(2)=-8+m f ( 2 ) = − 8 + m m m m 3 p − 8 + m = 0 -8+m=0 − 8 + m = 0 m = 8 m=8 m = 8 2 p Semnalează o greșeală
II.2.c 5 p Știind că restul împărțirii polinomului f f f g = X − 4 g=X-4 g = X − 4 14 14 14 f f f
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: x 1 = 3 x_1=3 x 1 = 3 x 2 = − 2 x_2=-\sqrt{2} x 2 = − 2 x 3 = 2 x_3=\sqrt{2} x 3 = 2
Criterii (după barem) f ( 4 ) = 14 f(4)=14 f ( 4 ) = 14 m = 6 m=6 m = 6 f = X 3 − 3 X 2 − 2 X + 6 = ( X − 3 ) ( X 2 − 2 ) f=X^3-3X^2-2X+6=(X-3)\left(X^2-2\right) f = X 3 − 3 X 2 − 2 X + 6 = ( X − 3 ) ( X 2 − 2 ) 2 p Rădăcinile polinomului f f f x 1 = 3 x_1=3 x 1 = 3 x 2 = − 2 x_2=-\sqrt{2} x 2 = − 2 x 3 = 2 x_3=\sqrt{2} x 3 = 2 3 p Semnalează o greșeală
II.2
f = X 3 − 3 X 2 + X + m f=X^3-3X^2+X+m f = X 3 − 3 X 2 + X + m m ∈ R m\in\mathbb R m ∈ R
II.2.a 5 p Pentru m=1 arătați f ( 1 ) = 0 f(1)=0 f ( 1 ) = 0
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Înlocuiește X=1 și m=1. 3 p 1 − 3 + 1 + 1 = 0 1-3+1+1=0 1 − 3 + 1 + 1 = 0 2 p Semnalează o greșeală
II.2.b 5 p Determinați m cu 2 x 1 + 2 x 2 + 2 x 3 = 1 + x 1 x 2 x 3 2x_1+2x_2+2x_3=1+x_1x_2x_3 2 x 1 + 2 x 2 + 2 x 3 = 1 + x 1 x 2 x 3 x 1 , x 2 , x 3 x_1,x_2,x_3 x 1 , x 2 , x 3
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: m = − 5 m=-5 m = − 5
Criterii (după barem) Viète dă suma rădăcinilor 3 și produsul -m. 3 p 2 ⋅ 3 = 1 − m 2\cdot3=1-m 2 ⋅ 3 = 1 − m 2 p Semnalează o greșeală
II.2.c 5 p Restul împărțirii lui f la X-2 este -5. Arătați X 2 + 1 ∣ f X^2+1\mid f X 2 + 1 ∣ f
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Teorema restului dă f ( 2 ) = m − 2 = − 5 f(2)=m-2=-5 f ( 2 ) = m − 2 = − 5 3 p X 3 − 3 X 2 + X − 3 = ( X 2 + 1 ) ( X − 3 ) X^3-3X^2+X-3=(X^2+1)(X-3) X 3 − 3 X 2 + X − 3 = ( X 2 + 1 ) ( X − 3 ) 2 p Semnalează o greșeală
II.2
Se consideră polinomul f = X 3 + m X 2 − X − m f=X^3+mX^2-X-m f = X 3 + m X 2 − X − m m m m
II.2.a 5 p Arătați că f ( 1 ) = 0 f(1)=0 f ( 1 ) = 0 m m m
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) f ( 1 ) = 1 3 + m ⋅ 1 2 − 1 − m = f(1)=1^3+m\cdot 1^2-1-m= f ( 1 ) = 1 3 + m ⋅ 1 2 − 1 − m = 3 p = 1 + m − 1 − m = 0 =1+m-1-m=0 = 1 + m − 1 − m = 0 m m m 2 p Semnalează o greșeală
II.2.b 5 p Pentru m = − 3 m=-3 m = − 3 3 3 3 f f f
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) f = X 3 − 3 X 2 − X + 3 ⇒ f ( 3 ) = 3 3 − 3 ⋅ 3 2 − 3 + 3 = f=X^3-3X^2-X+3\Rightarrow f(3)=3^3-3\cdot 3^2-3+3= f = X 3 − 3 X 2 − X + 3 ⇒ f ( 3 ) = 3 3 − 3 ⋅ 3 2 − 3 + 3 = 3 p = 27 − 27 − 3 + 3 = 0 =27-27-3+3=0 = 27 − 27 − 3 + 3 = 0 3 3 3 f f f 2 p Semnalează o greșeală
II.2.c 5 p Determinați numărul real m m m ( x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 ) 2 + x 1 x 2 x 3 ( x 1 + x 2 + x 3 ) = 1 \left(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3\right)^2+x_1x_2x_3\left(x_1+x_2+x_3\right)=1 ( x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 ) 2 + x 1 x 2 x 3 ( x 1 + x 2 + x 3 ) = 1 x 1 x_1 x 1 x 2 x_2 x 2 x 3 x_3 x 3 f f f
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: m = 0 m=0 m = 0
Criterii (după barem) x 1 + x 2 + x 3 = − m x_1+x_2+x_3=-m x 1 + x 2 + x 3 = − m x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = − 1 x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=-1 x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = − 1 x 1 x 2 x 3 = m x_1x_2x_3=m x 1 x 2 x 3 = m m m m 3 p 1 − m 2 = 1 1-m^2=1 1 − m 2 = 1 m = 0 m=0 m = 0 2 p Semnalează o greșeală
II.2
Se consideră polinomul f = X 3 − 3 X 2 + m X − 1 f=X^3-3X^2+mX-1 f = X 3 − 3 X 2 + m X − 1 m m m
II.2.a 5 p Arătați că f ( 0 ) = − 1 f(0)=-1 f ( 0 ) = − 1 m m m
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) f ( 0 ) = 0 3 − 3 ⋅ 0 2 + m ⋅ 0 − 1 = f(0)=0^3-3\cdot 0^2+m\cdot 0-1= f ( 0 ) = 0 3 − 3 ⋅ 0 2 + m ⋅ 0 − 1 = 3 p = 0 − 0 + 0 − 1 = − 1 =0-0+0-1=-1 = 0 − 0 + 0 − 1 = − 1 m m m 2 p Semnalează o greșeală
II.2.b 5 p Arătați că x 1 + x 2 + x 3 = 3 x 1 x 2 x 3 x_1+x_2+x_3=3x_1x_2x_3 x 1 + x 2 + x 3 = 3 x 1 x 2 x 3 m m m x 1 x_1 x 1 x 2 x_2 x 2 x 3 x_3 x 3 f f f
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) x 1 + x 2 + x 3 = 3 x_1+x_2+x_3=3 x 1 + x 2 + x 3 = 3 2 p x 1 x 2 x 3 = 1 x_1x_2x_3=1 x 1 x 2 x 3 = 1 x 1 + x 2 + x 3 = 3 x 1 x 2 x 3 x_1+x_2+x_3=3x_1x_2x_3 x 1 + x 2 + x 3 = 3 x 1 x 2 x 3 m m m 3 p Semnalează o greșeală
II.2.c 5 p Determinați numărul real m m m f f f X − 1 X-1 X − 1
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: m = 3 m=3 m = 3
Criterii (după barem) f ( 1 ) = 1 3 − 3 ⋅ 1 2 + m ⋅ 1 − 1 = 1 − 3 + m − 1 = m − 3 f(1)=1^3-3\cdot 1^2+m\cdot 1-1=1-3+m-1=m-3 f ( 1 ) = 1 3 − 3 ⋅ 1 2 + m ⋅ 1 − 1 = 1 − 3 + m − 1 = m − 3 m m m 2 p f ( 1 ) = 0 f(1)=0 f ( 1 ) = 0 m = 3 m=3 m = 3 3 p Semnalează o greșeală
II.2
Se consideră polinomul f = X 3 + m X 2 + 2 X − 5 f=X^3+mX^2+2X-5 f = X 3 + m X 2 + 2 X − 5 m m m
II.2.a 5 p Arătați că f ( 0 ) = − 5 f(0)=-5 f ( 0 ) = − 5 m m m
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) f ( 0 ) = 0 3 + m ⋅ 0 2 + 2 ⋅ 0 − 5 = f(0)=0^3+m\cdot 0^2+2\cdot 0-5= f ( 0 ) = 0 3 + m ⋅ 0 2 + 2 ⋅ 0 − 5 = 3 p = 0 + 0 + 0 − 5 = − 5 =0+0+0-5=-5 = 0 + 0 + 0 − 5 = − 5 m m m 2 p Semnalează o greșeală
II.2.b 5 p Determinați numărul real m m m 1 1 1 f f f
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: m = 2 m=2 m = 2
Criterii (după barem) f ( 1 ) = 0 ⇒ 1 3 + m ⋅ 1 2 + 2 ⋅ 1 − 5 = 0 f(1)=0\Rightarrow 1^3+m\cdot 1^2+2\cdot 1-5=0 f ( 1 ) = 0 ⇒ 1 3 + m ⋅ 1 2 + 2 ⋅ 1 − 5 = 0 3 p m − 2 = 0 m-2=0 m − 2 = 0 m = 2 m=2 m = 2 2 p Semnalează o greșeală
II.2.c 5 p Determinați numărul natural m m m x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 = 5 x_1^2+x_2^2+x_3^2=5 x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 = 5 x 1 x_1 x 1 x 2 x_2 x 2 x 3 x_3 x 3 f f f
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: m = 3 m=3 m = 3
Criterii (după barem) x 1 + x 2 + x 3 = − m x_1+x_2+x_3=-m x 1 + x 2 + x 3 = − m x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = 2 x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=2 x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = 2 2 p x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 = ( x 1 + x 2 + x 3 ) 2 − 2 ( x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 ) = m 2 − 4 x_1^2+x_2^2+x_3^2=\left(x_1+x_2+x_3\right)^2-2\left(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3\right)=m^2-4 x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 = ( x 1 + x 2 + x 3 ) 2 − 2 ( x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 ) = m 2 − 4 m 2 − 4 = 5 m^2-4=5 m 2 − 4 = 5 m m m m = 3 m=3 m = 3 3 p Semnalează o greșeală
II.2
f = X 3 + X 2 + m X − 4 f=X^3+X^2+mX-4 f = X 3 + X 2 + m X − 4 m ∈ R m\in\mathbb R m ∈ R
II.2.a 5 p Pentru m=1 arătați f(2)=10.
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Înlocuiește: 8+4+2-4. 3 p Suma este 10. 2 p Semnalează o greșeală
II.2.b 5 p Pentru m=-4 determinați rădăcinile lui f.
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: x ∈ { − 2 , − 1 , 2 } x\in\{-2,-1,2\} x ∈ { − 2 , − 1 , 2 }
Criterii (după barem) f=X³+X²-4X-4=(X+1)(X²-4). 2 p Factorizează încă o dată: (X+1)(X-2)(X+2). Rădăcinile sunt -1,2,-2. 3 p Semnalează o greșeală
Încă 5
Vrei să-ți scriem când apare ceva nou pentru Bacalaureat?
Îți scriem când punem subiecte oficiale noi explicate, în ziua examenului cu grila și rezultatele și, rar, când avem nevoie de ajutorul tău. Cel mult 2 emailuri pe lună, plus zilele de examen. Doar despre Bacalaureat.
Gata! Ți-am trimis un email de confirmare. Dacă nu-l vezi, uită-te și în Promoții sau Spam.