Acasă Bacalaureat Matematică M2 Pe teme Polinoame, divizibilitate și rădăcini Polinoame, divizibilitate și rădăcini: Matematică M2 la Bacalaureat
18 cerințe oficiale din subiectele de Bac. Rezolvi pe loc sau pe caiet, apoi te verifici pe barem.
II.2
Se consideră polinomul f = X 3 + a X 2 − 2 X + 2 f=X^3+aX^2-2X+2 f = X 3 + a X 2 − 2 X + 2 a ∈ R a\in\mathbb R a ∈ R
II.2.a 5 p Arătați că f ( 0 ) = 2 f(0)=2 f ( 0 ) = 2 a ∈ R a\in\mathbb R a ∈ R
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Înlocuirea lui X cu 0. 3 p Calculul f(0)=2 pentru orice a. 2 p Semnalează o greșeală
II.2.b 5 p Determinați a ∈ R a\in\mathbb R a ∈ R x 1 x 2 x 3 ( 1 + x 1 + x 2 + x 3 ) = 4 x_1x_2x_3(1+x_1+x_2+x_3)=4 x 1 x 2 x 3 ( 1 + x 1 + x 2 + x 3 ) = 4 x 1 , x 2 , x 3 x_1,x_2,x_3 x 1 , x 2 , x 3 f f f
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: a = 3 a=3 a = 3
Criterii (după barem) Relațiile lui Viète și expresia-2(1-a). 3 p Rezolvarea și a=3. 2 p Semnalează o greșeală
II.2.c 5 p Știind că f f f X + 1 X+1 X + 1 f f f X 2 − 2 X^2-2 X 2 − 2
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
− 4 -4 − 4
Verifică-te pe barem Răspuns: − 4 -4 − 4
Criterii (după barem) f(-1)=0 și a=-3. 2 p Împărțirea sau identitatea care dă restul-4. 3 p Semnalează o greșeală
II.2
Se consideră polinomul f = X 3 − a X + 2 + a f=X^3-aX+2+a f = X 3 − a X + 2 + a a ∈ R a\in\mathbb R a ∈ R
II.2.a 5 p Arătați că f ( 1 ) = 3 f(1)=3 f ( 1 ) = 3 a ∈ R a\in\mathbb R a ∈ R
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Înlocuirea lui 1 în polinom. 3 p Reducerea termenilor și rezultatul 3 independent de a a a 2 p Semnalează o greșeală
II.2.b 5 p Determinați a ∈ R a\in\mathbb R a ∈ R f f f g = X + 2 g=X+2 g = X + 2
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: a = 2 a=2 a = 2
Criterii (după barem) Calcularea lui f ( − 2 ) = 3 a − 6 f(-2)=3a-6 f ( − 2 ) = 3 a − 6 3 p Impunerea valorii 0 și obținerea lui a = 2 a=2 a = 2 2 p Semnalează o greșeală
II.2.c 5 p Determinați a ∈ R a\in\mathbb R a ∈ R x 1 3 + x 2 3 + x 3 3 = x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 x_1^3+x_2^3+x_3^3=x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3 x 1 3 + x 2 3 + x 3 3 = x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 x 1 , x 2 , x 3 x_1,x_2,x_3 x 1 , x 2 , x 3 f f f
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: a = − 3 a=-3 a = − 3
Criterii (după barem) Relațiile lui Viète pentru sumă și suma produselor două câte două. 2 p Suma cuburilor = − 3 a − 6 =-3a-6 = − 3 a − 6 a = − 3 a=-3 a = − 3 3 p Semnalează o greșeală
II.2
Se consideră polinomul f = X 3 + 2 X 2 + m X + 4 f=X^3+2X^2+mX+4 f = X 3 + 2 X 2 + m X + 4 m m m
II.2.a 5 p Pentru m = 2 m=2 m = 2 f ( − 2 ) = 0 f(-2)=0 f ( − 2 ) = 0
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) f = X 3 + 2 X 2 + 2 X + 4 ⇒ f ( − 2 ) = ( − 2 ) 3 + 2 ( − 2 ) 2 + 2 ⋅ ( − 2 ) + 4 = f=X^3+2X^2+2X+4\Rightarrow f(-2)=(-2)^3+2(-2)^2+2\cdot(-2)+4= f = X 3 + 2 X 2 + 2 X + 4 ⇒ f ( − 2 ) = ( − 2 ) 3 + 2 ( − 2 ) 2 + 2 ⋅ ( − 2 ) + 4 = 3 p = − 8 + 8 − 4 + 4 = 0 =-8+8-4+4=0 = − 8 + 8 − 4 + 4 = 0 2 p Semnalează o greșeală
II.2.b 5 p Pentru m = 1 m=1 m = 1 f f f g = X + 1 g=X+1 g = X + 1
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
4 4 4
Verifică-te pe barem Răspuns: 4 4 4
Criterii (după barem) f = X 3 + 2 X 2 + X + 4 ⇒ f ( − 1 ) = ( − 1 ) 3 + 2 ⋅ ( − 1 ) 2 + ( − 1 ) + 4 = f=X^3+2X^2+X+4\Rightarrow f(-1)=(-1)^3+2\cdot(-1)^2+(-1)+4= f = X 3 + 2 X 2 + X + 4 ⇒ f ( − 1 ) = ( − 1 ) 3 + 2 ⋅ ( − 1 ) 2 + ( − 1 ) + 4 = 3 p = − 1 + 2 − 1 + 4 = 4 =-1+2-1+4=4 = − 1 + 2 − 1 + 4 = 4 f f f g g g 4 4 4 2 p Semnalează o greșeală
II.2.c 5 p Determinați rădăcinile polinomului f f f 1 1 1
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: x 1 = x 2 = 1 x_1=x_2=1 x 1 = x 2 = 1 x 3 = − 4 x_3=-4 x 3 = − 4
Criterii (după barem) x 1 x 2 = 1 x_1x_2=1 x 1 x 2 = 1 x 1 x 2 x 3 = − 4 x_1x_2x_3=-4 x 1 x 2 x 3 = − 4 x 3 = − 4 x_3=-4 x 3 = − 4 2 p x 1 + x 2 + x 3 = − 2 x_1+x_2+x_3=-2 x 1 + x 2 + x 3 = − 2 x 1 + x 2 = 2 x_1+x_2=2 x 1 + x 2 = 2 x 1 = x 2 = 1 x_1=x_2=1 x 1 = x 2 = 1 3 p Semnalează o greșeală
II.2
Se consideră polinomul f = X 3 − 3 X 2 − 3 X + a f=X^3-3X^2-3X+a f = X 3 − 3 X 2 − 3 X + a a a a
II.2.a 5 p Pentru a = 1 a=1 a = 1 f ( − 1 ) = 0 f(-1)=0 f ( − 1 ) = 0
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) f = X 3 − 3 X 2 − 3 X + 1 ⇒ f ( − 1 ) = ( − 1 ) 3 − 3 ⋅ ( − 1 ) 2 − 3 ⋅ ( − 1 ) + 1 = f=X^3-3X^2-3X+1\Rightarrow f(-1)=(-1)^3-3\cdot(-1)^2-3\cdot(-1)+1= f = X 3 − 3 X 2 − 3 X + 1 ⇒ f ( − 1 ) = ( − 1 ) 3 − 3 ⋅ ( − 1 ) 2 − 3 ⋅ ( − 1 ) + 1 = 3 p = − 1 − 3 + 3 + 1 = 0 =-1-3+3+1=0 = − 1 − 3 + 3 + 1 = 0 2 p Semnalează o greșeală
II.2.b 5 p Determinați numărul real a a a 3 x 1 + 3 x 2 + 3 x 3 − x 1 x 2 x 3 = 3 3x_1+3x_2+3x_3-x_1x_2x_3=3 3 x 1 + 3 x 2 + 3 x 3 − x 1 x 2 x 3 = 3 x 1 x_1 x 1 x 2 x_2 x 2 x 3 x_3 x 3 f f f
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: a = − 6 a=-6 a = − 6
Criterii (după barem) x 1 + x 2 + x 3 = 3 x_1+x_2+x_3=3 x 1 + x 2 + x 3 = 3 x 1 x 2 x 3 = − a ⇒ 3 x 1 + 3 x 2 + 3 x 3 − x 1 x 2 x 3 = 9 + a x_1x_2x_3=-a\Rightarrow3x_1+3x_2+3x_3-x_1x_2x_3=9+a x 1 x 2 x 3 = − a ⇒ 3 x 1 + 3 x 2 + 3 x 3 − x 1 x 2 x 3 = 9 + a a a a 3 p 9 + a = 3 9+a=3 9 + a = 3 a = − 6 a=-6 a = − 6 2 p Semnalează o greșeală
II.2.c 5 p Pentru a = 9 a=9 a = 9 f f f
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: x 1 = 3 x_1=3 x 1 = 3 x 2 = − 3 x_2=-\sqrt3 x 2 = − 3 x 3 = 3 x_3=\sqrt3 x 3 = 3
Criterii (după barem) f = X 3 − 3 X 2 − 3 X + 9 = ( X − 3 ) ( X 2 − 3 ) f=X^3-3X^2-3X+9=(X-3)\left(X^2-3\right) f = X 3 − 3 X 2 − 3 X + 9 = ( X − 3 ) ( X 2 − 3 ) 2 p Rădăcinile polinomului sunt x 1 = 3 x_1=3 x 1 = 3 x 2 = − 3 x_2=-\sqrt3 x 2 = − 3 x 3 = 3 x_3=\sqrt3 x 3 = 3 3 p Semnalează o greșeală
II.2
Se consideră polinomul f = X 3 + m X 2 − 2 X − 4 f=X^3+mX^2-2X-4 f = X 3 + m X 2 − 2 X − 4 m m m
II.2.a 5 p Pentru m = 6 m=6 m = 6 f ( 1 ) = 1 f(1)=1 f ( 1 ) = 1
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) f = X 3 + 6 X 2 − 2 X − 4 ⇒ f ( 1 ) = 1 3 + 6 ⋅ 1 2 − 2 ⋅ 1 − 4 = f=X^3+6X^2-2X-4\Rightarrow f(1)=1^3+6\cdot1^2-2\cdot1-4= f = X 3 + 6 X 2 − 2 X − 4 ⇒ f ( 1 ) = 1 3 + 6 ⋅ 1 2 − 2 ⋅ 1 − 4 = 3 p = 1 + 6 − 2 − 4 = 1 =1+6-2-4=1 = 1 + 6 − 2 − 4 = 1 2 p Semnalează o greșeală
II.2.b 5 p Determinați numărul real m m m ( x 1 x 2 x 3 ) 2 = x 1 + x 2 + x 3 + x 1 x 2 x 3 (x_1x_2x_3)^2=x_1+x_2+x_3+x_1x_2x_3 ( x 1 x 2 x 3 ) 2 = x 1 + x 2 + x 3 + x 1 x 2 x 3 x 1 x_1 x 1 x 2 x_2 x 2 x 3 x_3 x 3 f f f
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: m = − 12 m=-12 m = − 12
Criterii (după barem) x 1 + x 2 + x 3 = − m x_1+x_2+x_3=-m x 1 + x 2 + x 3 = − m x 1 x 2 x 3 = 4 x_1x_2x_3=4 x 1 x 2 x 3 = 4 2 p 16 = − m + 4 16=-m+4 16 = − m + 4 m = − 12 m=-12 m = − 12 3 p Semnalează o greșeală
II.2.c 5 p Determinați rădăcinile polinomului f f f f f f X − 2 X-2 X − 2 8 8 8
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: − 2 -2 − 2 − 2 -\sqrt2 − 2 2 \sqrt2 2
Criterii (după barem) f ( 2 ) = 8 ⇒ 4 m = 8 f(2)=8\Rightarrow4m=8 f ( 2 ) = 8 ⇒ 4 m = 8 m = 2 m=2 m = 2 2 p f = X 3 + 2 X 2 − 2 X − 4 = ( X + 2 ) ( X − 2 ) ( X + 2 ) f=X^3+2X^2-2X-4=(X+2)\left(X-\sqrt2\right)\left(X+\sqrt2\right) f = X 3 + 2 X 2 − 2 X − 4 = ( X + 2 ) ( X − 2 ) ( X + 2 ) f f f − 2 -2 − 2 − 2 -\sqrt2 − 2 2 \sqrt2 2 3 p Semnalează o greșeală
II.2
Fie f = X 3 − 3 X 2 + 2 X + m f=X^3-3X^2+2X+m f = X 3 − 3 X 2 + 2 X + m m ∈ R m\in\mathbb R m ∈ R
II.2.a 5 p Pentru m=6, arătați că f(-1)=0.
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Înlocuirea lui -1 și m=6 în polinom. 3 p Calculul rezultatului 0. 2 p Semnalează o greșeală
II.2.b 5 p Determinați m astfel încât f să fie divizibil cu g = X 2 + 2 g=X^2+2 g = X 2 + 2
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: m = − 6 m=-6 m = − 6
Criterii (după barem) Împărțirea f=(X -3)(X²+2)+m+6. 3 p Restul nul și m=-6. 2 p Semnalează o greșeală
II.2.c 5 p Determinați m astfel încât x 1 3 + x 2 3 + x 3 3 = 0 x_1^3+x_2^3+x_3^3=0 x 1 3 + x 2 3 + x 3 3 = 0
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: m = 3 m=3 m = 3
Criterii (după barem) Relațiile lui Viète și suma cuburilor 9-3 m. 3 p Ecuația și rezultatul m=3. 2 p Semnalează o greșeală
Încă 5
Vrei să-ți scriem când apare ceva nou pentru Bacalaureat?
Îți scriem când punem subiecte oficiale noi explicate, în ziua examenului cu grila și rezultatele și, rar, când avem nevoie de ajutorul tău. Cel mult 2 emailuri pe lună, plus zilele de examen. Doar despre Bacalaureat.
Gata! Ți-am trimis un email de confirmare. Dacă nu-l vezi, uită-te și în Promoții sau Spam.