Acasă Bacalaureat Matematică M1 Pe teme Sisteme de ecuații liniare Sisteme de ecuații liniare: Matematică M1 la Bacalaureat
7 cerințe oficiale din subiectele de Bac. Rezolvi pe loc sau pe caiet, apoi te verifici pe barem.
II.1
Se consideră matricea A ( a ) = ( a 0 − 2 1 1 1 − a 2 1 − 2 ) A(a)=\begin{pmatrix}a&0&-2\\1&1&1-a\\2&1&-2\end{pmatrix} A ( a ) = a 1 2 0 1 1 − 2 1 − a − 2 { a x − 2 z = 4 x + y + ( 1 − a ) z = 3 2 x + y − 2 z = 5 \begin{cases}ax-2z=4\\x+y+(1-a)z=3\\2x+y-2z=5\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ a x − 2 z = 4 x + y + ( 1 − a ) z = 3 2 x + y − 2 z = 5 a ∈ R a\in\mathbb R a ∈ R
II.1.c 5 p Pentru a = 2 a=2 a = 2 x 0 z 0 + y 0 ≥ 0 x_0z_0+y_0\ge0 x 0 z 0 + y 0 ≥ 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) (x_0,y_0,z_0) ( x 0 , y 0 , z 0 )
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Parametrizarea tuturor soluțiilor ( α , 1 , α − 2 ) (\alpha,1,\alpha-2) ( α , 1 , α − 2 ) 3 p Expresia ( α − 1 ) 2 ≥ 0 (\alpha-1)^2\ge0 ( α − 1 ) 2 ≥ 0 2 p Semnalează o greșeală
II.1
Se consideră matricea A ( a ) = ( a 1 1 1 − 1 a 3 2 1 ) A(a)=\begin{pmatrix}a&1&1\\1&-1&a\\3&2&1\end{pmatrix} A ( a ) = a 1 3 1 − 1 2 1 a 1 { a x + y + z = 2 a x − y + a z = − 4 3 x + 2 y + z = 8 \begin{cases}ax+y+z=2a\\x-y+az=-4\\3x+2y+z=8\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ a x + y + z = 2 a x − y + a z = − 4 3 x + 2 y + z = 8 a ∈ R a\in\mathbb R a ∈ R
II.1.c 5 p Fie ( x 1 , y 1 , z 1 ) (x_1,y_1,z_1) ( x 1 , y 1 , z 1 ) a = 1 a=1 a = 1 a = 2 a=2 a = 2 ( x 0 , y 0 , z 0 ) (x_0,y_0,z_0) ( x 0 , y 0 , z 0 ) x 0 y 0 = y 1 x_0y_0=y_1 x 0 y 0 = y 1
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: ( 1 , 3 , − 1 ) (1,3,-1) ( 1 , 3 , − 1 ) ( 3 , 1 , − 3 ) (3,1,-3) ( 3 , 1 , − 3 )
Criterii (după barem) Parametrizarea sistemului pentru a=2. 2 p y 1=3, ecuația în parametru și cele două soluții. 3 p Semnalează o greșeală
II.1
Se consideră A ( a ) = ( a 1 − a 3 1 − 2 1 − 3 a ) A(a)=\begin{pmatrix}a&1&-a\\3&1&-2\\1&-3&a\end{pmatrix} A ( a ) = a 3 1 1 1 − 3 − a − 2 a { a x + y − a z = 1 3 x + y − 2 z = 1 x − 3 y + a z = − 3 \begin{cases}ax+y-az=1\\3x+y-2z=1\\x-3y+az=-3\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ a x + y − a z = 1 3 x + y − 2 z = 1 x − 3 y + a z = − 3 a ∈ R a\in\mathbb R a ∈ R
II.1.b 5 p Determinați a ∈ R a\in\mathbb R a ∈ R
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: a ∈ R ∖ { − 2 , 1 } a\in\mathbb R\setminus\{-2,1\} a ∈ R ∖ { − 2 , 1 }
Criterii (după barem) Calculul determinantului. 2 p Condiția nenulă și mulțimea parametrilor. 3 p Semnalează o greșeală
II.1.c 5 p Pentru a=1, determinați soluțiile ( x 1 , y 1 , z 1 ) (x_1,y_1,z_1) ( x 1 , y 1 , z 1 ) ( x 2 , y 2 , z 2 ) (x_2,y_2,z_2) ( x 2 , y 2 , z 2 ) y 1 = x 2 y_1=x_2 y 1 = x 2 z 1 = y 2 z_1=y_2 z 1 = y 2
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: ( 2 , 3 , 4 ) (2,3,4) ( 2 , 3 , 4 ) ( 3 , 4 , 6 ) (3,4,6) ( 3 , 4 , 6 )
Criterii (după barem) Parametrizarea tuturor soluțiilor. 2 p Condițiile între parametri și cele două triplete. 3 p Semnalează o greșeală
II.1
Se consideră A ( a ) = ( 1 3 a 2 1 − 1 a 3 1 ) A(a)=\begin{pmatrix}1&3&a\\2&1&-1\\a&3&1\end{pmatrix} A ( a ) = 1 2 a 3 1 3 a − 1 1 { x + 3 y + a z = 2 2 x + y − z = − 1 a x + 3 y + z = 1 \begin{cases}x+3y+az=2\\2x+y-z=-1\\ax+3y+z=1\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ x + 3 y + a z = 2 2 x + y − z = − 1 a x + 3 y + z = 1 a ∈ R a\in\mathbb R a ∈ R
II.1.c 5 p Demonstrați că, dacă sistemul are o infinitate de soluții, atunci x 0 y 0 + y 0 z 0 + z 0 x 0 ≤ 0 x_0y_0+y_0z_0+z_0x_0\le0 x 0 y 0 + y 0 z 0 + z 0 x 0 ≤ 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) (x_0,y_0,z_0) ( x 0 , y 0 , z 0 )
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Determinantul și alegerea singurului parametru compatibil a=2. 2 p Parametrizarea și pătratul negativ. 3 p Semnalează o greșeală
II.1
Se consideră sistemul { a x + ( a + 1 ) y + ( a + 2 ) z = a b x + ( b + 1 ) y + ( b + 2 ) z = b y + z = 1 \begin{cases}ax+(a+1)y+(a+2)z=a\\bx+(b+1)y+(b+2)z=b\\y+z=1\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ a x + ( a + 1 ) y + ( a + 2 ) z = a b x + ( b + 1 ) y + ( b + 2 ) z = b y + z = 1 X ( a , b ) = ( a a + 1 a + 2 b b + 1 b + 2 0 1 1 ) X(a,b)=\begin{pmatrix}a&a+1&a+2\\b&b+1&b+2\\0&1&1\end{pmatrix} X ( a , b ) = a b 0 a + 1 b + 1 1 a + 2 b + 2 1 a , b ∈ R a,b\in\mathbb R a , b ∈ R
II.1.b 5 p Demonstrați că pentru orice a , b ∈ R a,b\in\mathbb R a , b ∈ R a ≠ b a\ne b a = b
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Calculul det X ( a , b ) = b − a \det X(a,b)=b-a det X ( a , b ) = b − a 3 p Pentru a ≠ b a\ne b a = b 2 p Semnalează o greșeală
II.1.c 5 p Demonstrați că dacă ( x 0 , y 0 , z 0 ) (x_0,y_0,z_0) ( x 0 , y 0 , z 0 ) y 0 2 − z 0 2 − 2 a x 0 = 3 y_0^2-z_0^2-2ax_0=3 y 0 2 − z 0 2 − 2 a x 0 = 3 a ∈ R a\in\mathbb R a ∈ R
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Pentru a ≠ b a\ne b a = b ( 0 , 2 , − 1 ) (0,2,-1) ( 0 , 2 , − 1 ) 2 p Pentru a = b a=b a = b ( α , 2 + a α , − 1 − a α ) (\alpha,2+a\alpha,-1-a\alpha) ( α , 2 + a α , − 1 − a α ) α ∈ R \alpha\in\mathbb R α ∈ R 3 p Semnalează o greșeală
Încă 5
Vrei să-ți scriem când apare ceva nou pentru Bacalaureat?
Îți scriem când punem subiecte oficiale noi explicate, în ziua examenului cu grila și rezultatele și, rar, când avem nevoie de ajutorul tău. Cel mult 2 emailuri pe lună, plus zilele de examen. Doar despre Bacalaureat.
Gata! Ți-am trimis un email de confirmare. Dacă nu-l vezi, uită-te și în Promoții sau Spam.