Evaluare Națională 2022 · Matematică · simularea națională · 5 puncte

Subiectul III, exercițiul 4

În figura alăturată este reprezentat pătratul $ABCD$ și triunghiul echilateral $CDE$ cu $EC = 6\text{ cm}$ . Dreptele $EC$ și $AB$ se intersectează în punctul $P$ .

Pătratul ABCD cu triunghiul echilateral CDE construit deasupra laturii DC; dreapta EC prelungită intersectează prelungirea lui AB în P.

a)2 p

Arată că $CP = 4\sqrt{3}\text{ cm}$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$CD \parallel AP$ și $EP$ secantă, obținem că $\angle DCE = \angle BPC = 60^\circ$ , deci $\angle BCP = 30^\circ \Rightarrow CP = 2 \cdot BP$ 1 p
În triunghiul $BCP$ dreptunghic în $B$ , $CP^2 = BP^2 + BC^2 \Rightarrow BP = 2\sqrt{3}\text{ cm}$ , deci $CP = 4\sqrt{3}\text{ cm}$ 1 p

b)3 p

Arată că distanța de la punctul $P$ la dreapta $AE$ este egală cu $\sqrt{2}\left(3 + 2\sqrt{3}\right)\text{ cm}$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$\angle ADE = 150^\circ$ , $AD = DE$ , deci triunghiul $ADE$ este isoscel și $\angle AED = 15^\circ \Rightarrow \angle AEP = 45^\circ$ 1 p
$EP = 6 + 4\sqrt{3}\text{ cm}$ 1 p
$PQ \perp AE$ , $Q \in AE$ , în triunghiul dreptunghic $PQE$ , $\sin(\angle QEP) = \dfrac{PQ}{EP} \Rightarrow PQ = \sqrt{2}\left(3 + 2\sqrt{3}\right)\text{ cm}$ , deci $d(P, AE) = \sqrt{2}\left(3 + 2\sqrt{3}\right)\text{ cm}$ 1 p

← Ex. 3 · Ex. 5 → · Toate exercițiile din EN 2022, simularea națională · Toate de la subiectul III · Simulare de 2 ore

Formulele pentru patrulatere · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$ , cu $AB = 10\text{ cm}$ și $AD = 8\text{ cm}$ . Punctele $M$ , $N$ și $T$ sunt mijloacele segmentelor $BC$ , $CD$ , respectiv $AB$ , iar $Q$ este punctul de intersecție a dreptelor $BN$ și $AM$ .

Paralelogramul ABCD cu M mijlocul lui BC, N mijlocul lui CD, T mijlocul lui AB; sunt trasate AM, BN și TN, iar Q este intersecția dreptelor BN și AM.

Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$ cu $AB = 15\text{ cm}$ . Punctul $M$ aparține segmentului $AB$ , astfel încât $AM = AD = \dfrac{2}{3}AB$ .

Paralelogramul ABCD cu punctul M pe latura AB; dreapta DM intersectează prelungirea laturii BC în punctul N.

Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$ , cu $AB = 6\text{ cm}$ și $BC = 3\text{ cm}$ . Punctul $M$ este mijlocul laturii $AB$ , iar dreptele $AC$ și $DM$ se intersectează în punctul $P$ .

Dreptunghiul ABCD cu M mijlocul laturii AB; diagonala AC și segmentul DM se intersectează în P; T este mijlocul lui CP și segmentul MT este trasat.

Rezolvă →

Patrulatere Triunghiul: proprietăți și congruență Relații metrice în triunghiul dreptunghic Drepte paralele și perpendiculare în plan Trigonometrie în triunghiul dreptunghic

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).