Evaluare Națională 2022 · Matematică · modelul de subiect · 5 puncte

Subiectul III, exercițiul 5

În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$ , dreptunghic în $A$ , cu măsura unghiului $ACB$ de $15^\circ$ și $BC = 20\text{ cm}$ . Punctul $M$ este mijlocul segmentului $BC$ și punctul $N$ aparține dreptei $BC$ astfel încât dreapta $AN$ este perpendiculară pe dreapta $BC$ .

Triunghiul ABC dreptunghic în A, cu mediana AM și înălțimea AN; P simetricul lui A față de BC, Q simetricul lui M față de N; patrulaterul AMPQ.

a)2 p

Arată că $MN = 5\sqrt{3}\text{ cm}$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$AM = MC \Rightarrow \angle AMN = 2 \cdot \angle ACM = 30^\circ$ 1 p
$\cos(\angle AMN) = \dfrac{MN}{AM} \Rightarrow MN = \dfrac{BC}{2} \cdot \cos 30^\circ = 5\sqrt{3}\text{ cm}$ 1 p

b)3 p

Știind că punctul $P$ este simetricul punctului $A$ față de dreapta $BC$ și că punctul $Q$ este simetricul punctului $M$ față de punctul $N$ , calculează aria patrulaterului $AMPQ$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $50\sqrt{3}\text{ cm}^2$

Barem oficial

$AMPQ$ este paralelogram și $AP \perp MQ$ , deci $AMPQ$ este romb1 p
$AN = \dfrac{AM}{2} = \dfrac{BC}{4} = 5\text{ cm}$ 1 p
$\mathcal{A}_{AMPQ} = \dfrac{AP \cdot MQ}{2} = \dfrac{2AN \cdot 2MN}{2} = 50\sqrt{3}\text{ cm}^2$ 1 p

← Ex. 4 · Ex. 6 → · Toate exercițiile din EN 2022, model de subiect · Toate de la subiectul III · Simulare de 2 ore

Formulele pentru relații metrice în triunghiul dreptunghic · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 4 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cercul de centru $O$ și raza de $6\text{ cm}$ . Punctele $A$ , $B$ , $C$ și $D$ aparțin cercului, astfel încât dreptele $AB$ și $CD$ sunt perpendiculare. Punctul $M$ este mijlocul coardei $AB$ și $OM = 3\text{ cm}$ .

Cercul de centru O cu coarda AB orizontală și coarda CD verticală, perpendiculare; M este mijlocul coardei AB, segmentul OM este trasat.

Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 4 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat triunghiul dreptunghic isoscel $ABC$ , cu $AB = AC$ . Punctul $O$ este mijlocul laturii $BC$ , iar punctele $A$ și $D$ sunt de o parte și de alta a dreptei $BC$ , astfel încât $\angle BDC = 90^\circ$ și $\angle BCD = 60^\circ$ .

Triunghiul dreptunghic isoscel ABC (unghiul drept în A) și triunghiul dreptunghic BDC de cealaltă parte a ipotenuzei BC; O este mijlocul lui BC, E este pe BD și sunt trasate AO, OD și CE.

Rezolvă →EN 2026 simulare 2 · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$ , dreptunghic în $A$ , cu $AB = 6\text{ cm}$ și $AC = 8\text{ cm}$ . Punctul $Q$ se află pe latura $AB$ , astfel încât $BQ = 2\text{ cm}$ . Paralela prin $Q$ la dreapta $AC$ intersectează dreapta $BC$ în punctul $P$ , punctul $G$ este centrul de greutate al triunghiului $ABC$ și $AG \cap BC = \{M\}$ .

Triunghiul ABC dreptunghic în A; Q pe AB, P pe BC cu QP paralel cu AC; G este centrul de greutate pe mediana AM.

Rezolvă →

Relații metrice în triunghiul dreptunghic Trigonometrie în triunghiul dreptunghic Linii importante în triunghi Patrulatere Arii și perimetre în plan

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).