Evaluare Națională 2022 · Matematică · modelul de subiect · 5 puncte

Subiectul III, exercițiul 6

În figura alăturată este reprezentată o piramidă patrulateră $VABCD$ , cu baza pătratul $ABCD$ , cu $AB = 8\text{ cm}$ . Înălțimea $VO$ a piramidei are lungimea egală cu $4\sqrt{3}\text{ cm}$ , unde $O$ este punctul de intersecție a dreptelor $AC$ și $BD$ .

Piramida patrulateră VABCD cu baza pătratul ABCD și înălțimea VO.

a)2 p

Arată că volumul piramidei $VABCD$ este egal cu $\dfrac{256\sqrt{3}}{3}\text{ cm}^3$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$V = \dfrac{1}{3}\mathcal{A}_{ABCD} \cdot VO = \dfrac{1}{3} \cdot AB^2 \cdot VO =$ 1 p
$= \dfrac{256\sqrt{3}}{3}\text{ cm}^3$ 1 p

b)3 p

Demonstrează că măsura unghiului planelor $(VAD)$ și $(VBC)$ este egală cu $60^\circ$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Construim, prin $V$ , dreapta $d$ , $d \parallel AD \parallel BC$ , de unde $(VAD) \cap (VBC) = d$ 1 p
$VS \perp AD$ , unde $S \in AD$ , $VR \perp BC$ , unde $R \in BC$ , deci $VS \perp d$ și $VR \perp d$ , de unde $\angle((VAD), (VBC)) = \angle(VS, VR)$ 1 p
$VR = VS = RS = 8\text{ cm}$ , deci triunghiul $VRS$ este echilateral, de unde $\angle SVR = 60^\circ$ , deci $\angle((VAD), (VBC)) = 60^\circ$ 1 p

← Ex. 5 · Toate exercițiile din EN 2022, model de subiect · Toate de la subiectul III · Simulare de 2 ore

Formulele pentru corpuri geometrice: elemente și desfășurări · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă $ABCDA'B'C'D'$ , cu baza pătratul $ABCD$ , $AB = 4\text{ cm}$ și $AA' = 4\sqrt{2}\text{ cm}$ .

Prisma dreaptă ABCDA'B'C'D' cu baza pătratul ABCD; sunt trasate segmentele C'B, C'D și BD (punctat).

Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCDA'B'C'D'$ , cu $AB = 8\text{ cm}$ . Punctele $M$ , $N$ și $P$ sunt mijloacele muchiilor $AD$ , $DC$ , respectiv $DD'$ .

Cubul ABCDA'B'C'D' cu M, N, P mijloacele muchiilor AD, DC și DD'; triunghiul MNP este trasat.

Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată piramida regulată $VABCD$ , cu baza $ABCD$ , $VA = AB = 12\text{ cm}$ . Punctul $M$ este mijlocul muchiei $VA$ , iar punctul $N$ este proiecția punctului $M$ pe planul $(ABC)$ .

Piramida patrulateră regulată VABCD; M este mijlocul muchiei VA, iar N este proiecția lui M pe planul bazei.

Rezolvă →

Corpuri geometrice: elemente și desfășurări Arii și volume ale corpurilor Unghiuri în spațiu Triunghiul: proprietăți și congruență

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).