Evaluare Națională 2022 · Matematică · sesiunea iunie · 5 puncte

Subiectul III, exercițiul 5

În figura alăturată este reprezentat trapezul dreptunghic $ABCD$ cu $AB \parallel CD$ , $\angle ABC = 45^\circ$ și $AD = CD = 10\text{ cm}$ . Paralela prin $D$ la dreapta $BC$ intersectează dreapta $AB$ în punctul $R$ . Dreptele $AD$ și $BC$ se intersectează în punctul $T$ și $O$ este punctul de intersecție a dreptelor $TR$ și $AC$ .

Trapezul dreptunghic ABCD; DR paralel cu BC, R pe AB; laturile AD și BC prelungite se întâlnesc în T; TR și AC se intersectează în O.

a)2 p

Arată că punctul $R$ este mijlocul segmentului $AB$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$CD \parallel AB$ și $DR \parallel CB \Rightarrow BCDR$ este paralelogram $\Rightarrow BR = CD = 10\text{ cm}$ 1 p
$\angle DAR = 90^\circ$ , $\angle ARD = 45^\circ$ , de unde obținem că triunghiul $ADR$ este dreptunghic isoscel cu $AD = AR = 10\text{ cm} \Rightarrow AR = RB$ , deci punctul $R$ este mijlocul segmentului $AB$ 1 p

b)3 p

Calculează lungimea segmentului $TO$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $TO = \dfrac{20\sqrt{5}}{3}\text{ cm}$

Barem oficial

$CD \parallel AB$ , $CD = \dfrac{AB}{2} \Rightarrow CD$ este linie mijlocie în triunghiul $TAB$ , deci punctul $C$ este mijlocul laturii $TB$ și punctul $D$ este mijlocul laturii $TA$ 1 p
Triunghiul $TAR$ dreptunghic în $A \Rightarrow TR = \sqrt{20^2 + 10^2} = 10\sqrt{5}\text{ cm}$ 1 p
Punctul $O$ este centrul de greutate al triunghiului $TAB$ , deci $TO = \dfrac{2}{3} \cdot TR = \dfrac{20\sqrt{5}}{3}\text{ cm}$ 1 p

← Ex. 4 · Ex. 6 → · Toate exercițiile din EN 2022, sesiunea iunie (Varianta 2) · Toate de la subiectul III · Simulare de 2 ore

Formulele pentru patrulatere · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$ , cu $AB = 10\text{ cm}$ și $AD = 8\text{ cm}$ . Punctele $M$ , $N$ și $T$ sunt mijloacele segmentelor $BC$ , $CD$ , respectiv $AB$ , iar $Q$ este punctul de intersecție a dreptelor $BN$ și $AM$ .

Paralelogramul ABCD cu M mijlocul lui BC, N mijlocul lui CD, T mijlocul lui AB; sunt trasate AM, BN și TN, iar Q este intersecția dreptelor BN și AM.

Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$ cu $AB = 15\text{ cm}$ . Punctul $M$ aparține segmentului $AB$ , astfel încât $AM = AD = \dfrac{2}{3}AB$ .

Paralelogramul ABCD cu punctul M pe latura AB; dreapta DM intersectează prelungirea laturii BC în punctul N.

Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$ , cu $AB = 6\text{ cm}$ și $BC = 3\text{ cm}$ . Punctul $M$ este mijlocul laturii $AB$ , iar dreptele $AC$ și $DM$ se intersectează în punctul $P$ .

Dreptunghiul ABCD cu M mijlocul laturii AB; diagonala AC și segmentul DM se intersectează în P; T este mijlocul lui CP și segmentul MT este trasat.

Rezolvă →

Patrulatere Relații metrice în triunghiul dreptunghic Linii importante în triunghi

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).