Evaluare Națională 2020 · Matematică · testul de antrenament 36 · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 1

În Figura 2 este reprezentat un trapez dreptunghic $ABCD$ cu $AD \perp AB$ , $AB \parallel CD$ , $AB = 8\text{ cm}$ , $CD = 4\text{ cm}$ și $AD = 4\sqrt{3}\text{ cm}$ . Punctul $E$ este situat pe latura $BC$ astfel încât $\triangle ADE$ este echilateral.

Figura 2: trapez dreptunghic ABCD, cu AD verticală, AB baza mare și CD baza mică; E este pe latura BC și sunt trasate AE și DE.

a)5 p

Arătați că aria trapezului $ABCD$ este egală cu $24\sqrt{3}\text{ cm}^2$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$\mathcal{A}_{ABCD} = \dfrac{(AB + CD) \cdot AD}{2}$ 3 p
$\mathcal{A}_{ABCD} = \dfrac{(8 + 4) \cdot 4\sqrt{3}}{2} = 24\sqrt{3}\text{ cm}^2$ 2 p

b)5 p

Arătați că perimetrul trapezului $ABCD$ este mai mic decât $27\text{ cm}$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$ADCM$ este dreptunghi, unde $CM \perp AB$ , $M \in AB$ , deci $AM = CD = 4\text{ cm}$ și $CM = AD = 4\sqrt{3}\text{ cm}$ . Cum $\triangle BCM$ este dreptunghic, obținem $BC = 8\text{ cm}$ 2 p
$P_{ABCD} = AB + BC + CD + DA = 20 + 4\sqrt{3}\text{ cm}$ și, cum $4\sqrt{3} < 7 \Leftrightarrow \sqrt{48} < \sqrt{49}$ , obținem $P_{ABCD} < 27\text{ cm}$ 3 p

c)5 p

Demonstrați că punctul $E$ este mijlocul laturii $BC$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$\triangle ADE$ este echilateral, deci $EF \perp AD$ , unde $F$ este mijlocul segmentului $AD$ și, cum $AD \perp AB$ , obținem $EF \parallel AB$ 2 p
$EF \parallel AB$ și $F$ este mijlocul segmentului $AD$ , deci $EF$ este linie mijlocie în trapezul $ABCD$ , de unde obținem că punctul $E$ este mijlocul laturii $BC$ 3 p

← S II, ex. 5 · Ex. 2 → · Toate exercițiile din EN 2020, Test 36 (setul 8) · Toate de la subiectul III · Simulare de 2 ore

Formulele pentru arii și perimetre în plan · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul II, ex. 3 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$ . Punctul $D$ este mijlocul segmentului $BC$ și punctul $G$ este centrul de greutate al triunghiului $ABC$ . Aria triunghiului $DGC$ este egală cu $15\text{ cm}^2$ . Aria triunghiului $ABC$ este egală cu:

Triunghiul ABC, cu D mijlocul laturii BC și G centrul de greutate; este desenat triunghiul DGC.

Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul II, ex. 4 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$ , cu aria egală cu $96\text{ cm}^2$ . Punctele $E$ și $F$ sunt mijloacele laturilor $AB$ , respectiv $AD$ . Aria triunghiului $AEF$ este egală cu:

Paralelogramul ABCD cu diagonala BD; E este mijlocul lui AB, F mijlocul lui AD, iar segmentul EF este trasat.

Rezolvă →EN 2026 simulare · Subiectul II, ex. 4 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat pătratul $ABCD$ , cu $AB = 4\text{ cm}$ . Punctul $M$ este mijlocul laturii $BC$ . Dreptele $AM$ și $DC$ se intersectează în punctul $P$ . Aria triunghiului $ABP$ este egală cu:

Pătratul ABCD; dreapta AM, cu M mijlocul lui BC, intersectează prelungirea laturii DC în punctul P; triunghiul ABP este trasat.

Rezolvă →

Arii și perimetre în plan Relații metrice în triunghiul dreptunghic Patrulatere Radicali Linii importante în triunghi

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).