Evaluare Națională 2020 · Matematică · testul de antrenament 35 · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 1

În Figura 2 este reprezentat un triunghi echilateral $ABC$ cu $AB=16\text{ cm}$ și $AD\perp BC$ , $D\in BC$ . Punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele segmentelor $DC$ și $AD$ , iar punctul $E$ este proiecția punctului $D$ pe dreapta $AC$ .

Figura 2: triunghiul echilateral ABC, înălțimea AD, M mijlocul lui DC, N mijlocul lui AD și E piciorul perpendicularei din D pe AC; sunt trasate ME și NE.

a)5 p

Arătați că perimetrul triunghiului $ABC$ este egal cu $48\text{ cm}$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$ABC$ este echilateral, deci $P_{ABC}=3AB$ 3 p
$P_{ABC}=3\cdot16=48\text{ cm}$ 2 p

b)5 p

Demonstrați că dreptele $ME$ și $NE$ sunt perpendiculare.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

În triunghiul dreptunghic $AED$ , $N$ este mijlocul ipotenuzei, deci $NA=NE=ND$ . În triunghiul dreptunghic $DEC$ , $M$ este mijlocul ipotenuzei, deci $MD=ME=MC$ 2 p
$ND=NE$ , $MD=ME$ și $MN$ este comună, deci triunghiurile $NDM$ și $NEM$ sunt congruente. Cum $\angle NDM=90^\circ$ , și $\angle NEM=90^\circ$ , deci $ME\perp NE$ 3 p

c)5 p

Calculați aria patrulaterului $BDNF$ , unde $F$ este punctul de intersecție a dreptelor $EN$ și $AB$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $26\sqrt3\text{ cm}^2$

Barem oficial

$ANE$ este isoscel și $\angle EAN=30^\circ$ , deci $\angle AEN=30^\circ$ . Cum $\angle EAF=60^\circ$ , rezultă $\angle AFE=90^\circ$ . În triunghiul dreptunghic $AFN$ , $AN=4\sqrt3$ și $\angle NAF=30^\circ$ , deci $NF=2\sqrt3$ și $AF=6$ 3 p
$\mathcal A_{BDNF}=\mathcal A_{ABD}-\mathcal A_{AFN}=\dfrac{8\cdot8\sqrt3}{2}-\dfrac{6\cdot2\sqrt3}{2}=26\sqrt3\text{ cm}^2$ 2 p

← S II, ex. 5 · Ex. 2 → · Toate exercițiile din EN 2020, Test 35 (setul 7) · Toate de la subiectul III · Simulare de 2 ore

Formulele pentru triunghiul: proprietăți și congruență · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

EN 2026 model · Subiectul III, ex. 4 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cercul de centru $O$ . Punctele $A$ , $B$ , $C$ și $D$ aparțin cercului, astfel încât $AB$ este diametru. Dreptele $CD$ și $AB$ sunt paralele, semidreapta $AC$ este bisectoarea unghiului $BAD$ și $CD = 16\text{ cm}$ .

Cercul de centru O cu diametrul AB și coarda CD paralelă cu AB; patrulaterul ABCD și diagonala AC sunt trasate.

Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 4 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat triunghiul dreptunghic isoscel $ABC$ , cu $AB = AC$ . Punctul $O$ este mijlocul laturii $BC$ , iar punctele $A$ și $D$ sunt de o parte și de alta a dreptei $BC$ , astfel încât $\angle BDC = 90^\circ$ și $\angle BCD = 60^\circ$ .

Triunghiul dreptunghic isoscel ABC (unghiul drept în A) și triunghiul dreptunghic BDC de cealaltă parte a ipotenuzei BC; O este mijlocul lui BC, E este pe BD și sunt trasate AO, OD și CE.

Rezolvă →EN 2026 simulare 2 · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă $ABCA'B'C'$ , cu baza triunghiul echilateral $ABC$ , $AB = 12\text{ cm}$ și $AA' = 3\sqrt{3}\text{ cm}$ .

Prisma dreaptă triunghiulară ABCA'B'C'; M este mijlocul muchiei AB și segmentul MC' este trasat punctat.

Rezolvă →

Triunghiul: proprietăți și congruență Linii importante în triunghi Relații metrice în triunghiul dreptunghic Arii și perimetre în plan

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).