Evaluare Națională 2020 · Matematică · testul de antrenament 34 · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 1

În Figura 2 este reprezentat un paralelogram $ABCD$ cu $AD\perp BD$ , $AB=10\text{ cm}$ și $AD=5\text{ cm}$ . Punctul $O$ este intersecția diagonalelor $AC$ și $BD$ , iar punctul $E$ este simetricul punctului $C$ față de punctul $B$ .

Figura 2: paralelogramul ABCD cu diagonalele AC și BD, centrul O și E pe prelungirea lui CB, cu B mijlocul lui CE.

a)5 p

Arătați că $BD=5\sqrt3\text{ cm}$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Triunghiul $ABD$ este dreptunghic în $D$ , deci $BD=\sqrt{AB^2-AD^2}$ 3 p
$BD=\sqrt{100-25}=5\sqrt3\text{ cm}$ 2 p

b)5 p

Demonstrați că triunghiul $DEC$ este echilateral.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$E$ este simetricul lui $C$ față de $B$ , deci $EC=2BC=10\text{ cm}$ 2 p
$B$ este mijlocul lui $CE$ , iar $AD\perp BD$ și $AD\parallel BC$ dau $DB\perp CE$ . Astfel $DEC$ este isoscel și, cum $DC=EC=10\text{ cm}$ , este echilateral3 p

c)5 p

Arătați că, dacă $P$ este punctul de intersecție a dreptelor $AB$ și $DE$ , atunci aria patrulaterului $BCOP$ este egală cu $\dfrac{75\sqrt3}{8}\text{ cm}^2$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$AD\parallel BE$ și $AD=BE$ , deci $AEBD$ este paralelogram și $P$ este mijlocul lui $AB$ . Cum $O$ este mijlocul lui $BD$ , $PO$ este linie mijlocie în $ABD$ , deci $PO\parallel AD$ și $PO=AD/2$ 3 p
$BCOP$ este trapez cu $PO\parallel BC$ și înălțimea $BO=5\sqrt3/2$ . Aria este $\dfrac{(PO+BC)BO}{2}=\dfrac{(5/2+5)(5\sqrt3/2)}2=\dfrac{75\sqrt3}{8}\text{ cm}^2$ 2 p

← S II, ex. 5 · Ex. 2 → · Toate exercițiile din EN 2020, Test 34 (setul 7) · Toate de la subiectul III · Simulare de 2 ore

Formulele pentru patrulatere · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$ , cu $AB = 10\text{ cm}$ și $AD = 8\text{ cm}$ . Punctele $M$ , $N$ și $T$ sunt mijloacele segmentelor $BC$ , $CD$ , respectiv $AB$ , iar $Q$ este punctul de intersecție a dreptelor $BN$ și $AM$ .

Paralelogramul ABCD cu M mijlocul lui BC, N mijlocul lui CD, T mijlocul lui AB; sunt trasate AM, BN și TN, iar Q este intersecția dreptelor BN și AM.

Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$ cu $AB = 15\text{ cm}$ . Punctul $M$ aparține segmentului $AB$ , astfel încât $AM = AD = \dfrac{2}{3}AB$ .

Paralelogramul ABCD cu punctul M pe latura AB; dreapta DM intersectează prelungirea laturii BC în punctul N.

Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$ , cu $AB = 6\text{ cm}$ și $BC = 3\text{ cm}$ . Punctul $M$ este mijlocul laturii $AB$ , iar dreptele $AC$ și $DM$ se intersectează în punctul $P$ .

Dreptunghiul ABCD cu M mijlocul laturii AB; diagonala AC și segmentul DM se intersectează în P; T este mijlocul lui CP și segmentul MT este trasat.

Rezolvă →

Patrulatere Relații metrice în triunghiul dreptunghic Triunghiul: proprietăți și congruență Linii importante în triunghi Arii și perimetre în plan

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).