Evaluare Națională 2017 · Matematică · sesiunea specială · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 1

În Figura 2 este reprezentat un dreptunghi $ABCD$ cu $AD = 12\text{ cm}$ și $AC = 20\text{ cm}$ . Punctul $M$ este mijlocul laturii $AD$ , iar punctul $N$ se află pe latura $CD$ astfel încât $DN = 4\text{ cm}$ .

Figura 2: dreptunghiul ABCD cu diagonala AC; M mijlocul lui AD, N pe DC; segmentele MN, MB și NB trasate.

a)5 p

Arătați că $AB = 16\text{ cm}$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$AB^2 = AC^2 - BC^2 =$ 2 p
$= 20^2 - 12^2 = 256$ , deci $AB = 16\text{ cm}$ 3 p

b)5 p

Arătați că raportul dintre aria triunghiului $DMN$ și aria triunghiului $ABM$ este egal cu $\dfrac{1}{4}$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$\mathcal{A}_{\triangle DMN} = \dfrac{DM \cdot DN}{2}$ , $\mathcal{A}_{\triangle ABM} = \dfrac{AB \cdot AM}{2}$ 2 p
Cum $DM = AM$ , obținem $\dfrac{\mathcal{A}_{\triangle DMN}}{\mathcal{A}_{\triangle ABM}} = \dfrac{DN}{AB} = \dfrac{4}{16} = \dfrac{1}{4}$ 3 p

c)5 p

Determinați distanța de la punctul $M$ la dreapta $BN$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $5\sqrt{2}\text{ cm}$

Barem oficial

$\mathcal{A}_{\triangle BNM} = \mathcal{A}_{ABCD} - \left(\mathcal{A}_{\triangle ABM} + \mathcal{A}_{\triangle BCN} + \mathcal{A}_{\triangle DMN}\right) = 192 - (48 + 72 + 12) = 60\text{ cm}^2$ 2 p
Cum $\mathcal{A}_{\triangle BNM} = \dfrac{BN \cdot d(M, BN)}{2}$ și $BN = 12\sqrt{2}\text{ cm}$ , obținem că $d(M, BN) = 5\sqrt{2}\text{ cm}$ 3 p

← S II, ex. 5 · Ex. 2 → · Toate exercițiile din EN 2017, sesiunea specială (Varianta 4) · Toate de la subiectul III · Simulare de 2 ore

Formulele pentru patrulatere · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$ , cu $AB = 10\text{ cm}$ și $AD = 8\text{ cm}$ . Punctele $M$ , $N$ și $T$ sunt mijloacele segmentelor $BC$ , $CD$ , respectiv $AB$ , iar $Q$ este punctul de intersecție a dreptelor $BN$ și $AM$ .

Paralelogramul ABCD cu M mijlocul lui BC, N mijlocul lui CD, T mijlocul lui AB; sunt trasate AM, BN și TN, iar Q este intersecția dreptelor BN și AM.

Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$ cu $AB = 15\text{ cm}$ . Punctul $M$ aparține segmentului $AB$ , astfel încât $AM = AD = \dfrac{2}{3}AB$ .

Paralelogramul ABCD cu punctul M pe latura AB; dreapta DM intersectează prelungirea laturii BC în punctul N.

Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$ , cu $AB = 6\text{ cm}$ și $BC = 3\text{ cm}$ . Punctul $M$ este mijlocul laturii $AB$ , iar dreptele $AC$ și $DM$ se intersectează în punctul $P$ .

Dreptunghiul ABCD cu M mijlocul laturii AB; diagonala AC și segmentul DM se intersectează în P; T este mijlocul lui CP și segmentul MT este trasat.

Rezolvă →

Patrulatere Relații metrice în triunghiul dreptunghic Arii și perimetre în plan

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).