Evaluare Națională 2016 · Matematică · sesiunea specială · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 1

Figura 2 este schița unui teren. ABCDABCD și BEFCBEFC sunt paralelograme cu AD=60 mAD = 60\text{ m}, AB=BE=80 mAB = BE = 80\text{ m} și punctele AA, BB și EE coliniare. Se consideră punctele MM și NN pe laturile BEBE, respectiv CDCD, astfel încât MN⊥BCMN \perp BC și BM=CN=60 mBM = CN = 60\text{ m}.

Figura 2: paralelogramele ABCD și BEFC alăturate; M pe BE și N pe CD, cu MN perpendiculară pe BC.

a)5 p

Arătați că perimetrul paralelogramului ABCDABCD este egal cu 280 m280\text{ m}.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. PABCD=2(AB+AD)=2(80+60)=P_{ABCD} = 2(AB + AD) = 2(80 + 60) =2 p
  2. =2⋅140=280 m= 2 \cdot 140 = 280\text{ m}3 p

b)5 p

Demonstrați că unghiul DABDAB are măsura de 60∘60^\circ.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. BM=CNBM = CN și BM∥CN⇒BMCNBM \parallel CN \Rightarrow BMCN paralelogram și, cum MN⊥BCMN \perp BC, obținem BMCNBMCN romb2 p
  2. BC=60 m⇒BM=CM=BCBC = 60\text{ m} \Rightarrow BM = CM = BC, adică △BMC\triangle BMC este echilateral, deci m(∠CBM)=60∘m(\angle CBM) = 60^\circ2 p
  3. AD∥BCAD \parallel BC și secanta AB⇒∠DAB≡∠CBMAB \Rightarrow \angle DAB \equiv \angle CBM, deci m(∠DAB)=60∘m(\angle DAB) = 60^\circ1 p

c)5 p

Demonstrați că aria suprafeței CMEFCMEF este mai mică decât 2600 m22600\text{ m}^2.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. BM∥CF⇒d(M,CF)=d(C,BM)BM \parallel CF \Rightarrow d(M, CF) = d(C, BM), deci d(M,CF)=6032=303 md(M, CF) = \dfrac{60\sqrt{3}}{2} = 30\sqrt{3}\text{ m}2 p
  2. CMEFCMEF este trapez, deci ACMEF=(ME+CF)⋅d(M,CF)2=(20+80)⋅3032=15003 m2\mathcal{A}_{CMEF} = \dfrac{(ME + CF) \cdot d(M, CF)}{2} = \dfrac{(20 + 80) \cdot 30\sqrt{3}}{2} = 1500\sqrt{3}\text{ m}^2 și, cum 15003<2600⇔153<26⇔675<6761500\sqrt{3} < 2600 \Leftrightarrow 15\sqrt{3} < 26 \Leftrightarrow \sqrt{675} < \sqrt{676}, obținem că ACMEF<2600 m2\mathcal{A}_{CMEF} < 2600\text{ m}^23 p

· · Toate exercițiile din EN 2016, sesiunea din 8 iunie 2016 (Varianta 04) · Toate de la subiectul III · Simulare de 2 ore

Formulele pentru patrulatere · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul ABCDABCD, cu AB=10 cmAB = 10\text{ cm} și AD=8 cmAD = 8\text{ cm}. Punctele MM, NN și TT sunt mijloacele segmentelor BCBC, CDCD, respectiv ABAB, iar QQ este punctul de intersecție a dreptelor BNBN și AMAM.

Paralelogramul ABCD cu M mijlocul lui BC, N mijlocul lui CD, T mijlocul lui AB; sunt trasate AM, BN și TN, iar Q este intersecția dreptelor BN și AM.
Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul ABCDABCD cu AB=15 cmAB = 15\text{ cm}. Punctul MM aparține segmentului ABAB, astfel încât AM=AD=23ABAM = AD = \dfrac{2}{3}AB.

Paralelogramul ABCD cu punctul M pe latura AB; dreapta DM intersectează prelungirea laturii BC în punctul N.
Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul ABCDABCD, cu AB=6 cmAB = 6\text{ cm} și BC=3 cmBC = 3\text{ cm}. Punctul MM este mijlocul laturii ABAB, iar dreptele ACAC și DMDM se intersectează în punctul PP.

Dreptunghiul ABCD cu M mijlocul laturii AB; diagonala AC și segmentul DM se intersectează în P; T este mijlocul lui CP și segmentul MT este trasat.
Rezolvă →

PatrulatereTriunghiul: proprietăți și congruențăDrepte paralele și perpendiculare în planArii și perimetre în planRadicali

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).