Evaluare Națională 2015 · Matematică · sesiunea specială · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 1

Figura 2 este schița unui steag format din două trapeze dreptunghice $ABCD$ și $EFCD$ , $AE \perp DC$ , în care $AB = EF = 8\text{ dm}$ , $DC = 6\text{ dm}$ , $AD = 2\sqrt{3}\text{ dm}$ și punctul $D$ este mijlocul segmentului $AE$ .

Figura 2: steag format din trapezele dreptunghice ABCD (jos) și EFCD (sus), cu latura comună DC și vârful C intrând spre interior.

a)5 p

Arătați că aria trapezului $ABCD$ este egală cu $14\sqrt{3}\text{ dm}^2$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$\mathcal{A}_{ABCD} = \dfrac{(8 + 6) \cdot 2\sqrt{3}}{2} =$ 2 p
$= \dfrac{14 \cdot 2\sqrt{3}}{2} = 14\sqrt{3}\text{ dm}^2$ 3 p

b)5 p

Calculați lungimea segmentului $BF$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $BF = 4\sqrt{3}\text{ dm}$

Barem oficial

$AB \parallel CD$ și $CD \parallel EF \Rightarrow AB \parallel EF$ și cum $AB = EF$ , obținem $ABFE$ paralelogram3 p
$BF = AE = 2AD = 4\sqrt{3}\text{ dm}$ 2 p

c)5 p

Arătați că unghiul $BCF$ are măsura de $120^\circ$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$CM = CP = 2\sqrt{3}\text{ dm}$ și $BM = FP = 2\text{ dm}$ , unde $M \in (AB)$ , $P \in (EF)$ și $C \in (MP)$ astfel încât $MP \perp CD$ , deci $\triangle CMB \equiv \triangle CPF$ (CC)2 p
$\operatorname{tg}(\angle BCM) = \dfrac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow m(\angle BCM) = m(\angle FCP) = 30^\circ$ , deci $m(\angle BCF) = 180^\circ - 2 \cdot 30^\circ = 120^\circ$ 3 p

← S II, ex. 5 · Ex. 2 → · Toate exercițiile din EN 2015, sesiunea din 10 iunie 2015 (Varianta 5) · Toate de la subiectul III · Simulare de 2 ore

Formulele pentru patrulatere · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$ , cu $AB = 10\text{ cm}$ și $AD = 8\text{ cm}$ . Punctele $M$ , $N$ și $T$ sunt mijloacele segmentelor $BC$ , $CD$ , respectiv $AB$ , iar $Q$ este punctul de intersecție a dreptelor $BN$ și $AM$ .

Paralelogramul ABCD cu M mijlocul lui BC, N mijlocul lui CD, T mijlocul lui AB; sunt trasate AM, BN și TN, iar Q este intersecția dreptelor BN și AM.

Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$ cu $AB = 15\text{ cm}$ . Punctul $M$ aparține segmentului $AB$ , astfel încât $AM = AD = \dfrac{2}{3}AB$ .

Paralelogramul ABCD cu punctul M pe latura AB; dreapta DM intersectează prelungirea laturii BC în punctul N.

Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$ , cu $AB = 6\text{ cm}$ și $BC = 3\text{ cm}$ . Punctul $M$ este mijlocul laturii $AB$ , iar dreptele $AC$ și $DM$ se intersectează în punctul $P$ .

Dreptunghiul ABCD cu M mijlocul laturii AB; diagonala AC și segmentul DM se intersectează în P; T este mijlocul lui CP și segmentul MT este trasat.

Rezolvă →

Patrulatere Arii și perimetre în plan Drepte paralele și perpendiculare în plan Trigonometrie în triunghiul dreptunghic Triunghiul: proprietăți și congruență

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).