Evaluare Națională 2015 · Matematică · simularea națională · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 2

În Figura 3 este reprezentată o piramidă patrulateră regulată VABCDVABCD cu VA=8 cmVA = 8\text{ cm} și AB=8 cmAB = 8\text{ cm}. Punctele EE și FF sunt mijloacele segmentelor ABAB, respectiv BCBC. Punctul MM este situat pe muchia VBVB astfel încât EM⊥VBEM \perp VB.

Figura 3: piramida patrulateră regulată VABCD; E mijlocul lui AB, F mijlocul lui BC, M pe VB cu EM perpendiculară pe VB; triunghiul EMF trasat.

a)5 p

Calculați aria triunghiului BEFBEF.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: 8 cm28\text{ cm}^2

Barem oficial

  1. BE=BF=4 cmBE = BF = 4\text{ cm}2 p
  2. A△BEF=4⋅42=8 cm2\mathcal{A}_{\triangle BEF} = \dfrac{4 \cdot 4}{2} = 8\text{ cm}^23 p

b)5 p

Determinați măsura unghiului format de dreapta VDVD cu planul (ABC)(ABC).

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: 45∘45^\circ

Barem oficial

  1. {O}=AC∩BD\{O\} = AC \cap BD, VO⊥(ABC)VO \perp (ABC) și D∈(ABC)⇒m(∠(VD,(ABC)))=m(∠(VD,DO))=m(∠VDO)D \in (ABC) \Rightarrow m(\angle(VD, (ABC))) = m(\angle(VD, DO)) = m(\angle VDO)2 p
  2. BD=82⇒△VBDBD = 8\sqrt{2} \Rightarrow \triangle VBD dreptunghic isoscel, deci m(∠VDO)=45∘m(\angle VDO) = 45^\circ3 p

c)5 p

Demonstrați că muchia VBVB este perpendiculară pe planul (EMF)(EMF).

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. BE=BFBE = BF, ∠MBE≡∠MBF\angle MBE \equiv \angle MBF și MBMB latură comună ⇒△MEB≡△MFB\Rightarrow \triangle MEB \equiv \triangle MFB (LUL)2 p
  2. m(∠BMF)=90∘m(\angle BMF) = 90^\circ, deci FM⊥VBFM \perp VB și cum EM⊥VBEM \perp VB și FM∩EM={M}⇒VB⊥(EMF)FM \cap EM = \{M\} \Rightarrow VB \perp (EMF)3 p

· Toate exercițiile din EN 2015, simularea din 24 februarie 2015 · Toate de la subiectul III · Simulare de 2 ore

Formulele pentru corpuri geometrice: elemente și desfășurări · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D', cu baza pătratul ABCDABCD, AB=4 cmAB = 4\text{ cm} și AA′=42 cmAA' = 4\sqrt{2}\text{ cm}.

Prisma dreaptă ABCDA'B'C'D' cu baza pătratul ABCD; sunt trasate segmentele C'B, C'D și BD (punctat).
Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cubul ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D', cu AB=8 cmAB = 8\text{ cm}. Punctele MM, NN și PP sunt mijloacele muchiilor ADAD, DCDC, respectiv DD′DD'.

Cubul ABCDA'B'C'D' cu M, N, P mijloacele muchiilor AD, DC și DD'; triunghiul MNP este trasat.
Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată piramida regulată VABCDVABCD, cu baza ABCDABCD, VA=AB=12 cmVA = AB = 12\text{ cm}. Punctul MM este mijlocul muchiei VAVA, iar punctul NN este proiecția punctului MM pe planul (ABC)(ABC).

Piramida patrulateră regulată VABCD; M este mijlocul muchiei VA, iar N este proiecția lui M pe planul bazei.
Rezolvă →

Corpuri geometrice: elemente și desfășurăriArii și perimetre în planUnghiuri în spațiuRelații metrice în triunghiul dreptunghicParalelism și perpendicularitate în spațiuTriunghiul: proprietăți și congruență

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).