Evaluare Națională 2015 · Matematică · simularea națională · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 1

Figura 2 este schița unui parc în formă de dreptunghi $ABCD$ cu $AB = 5\text{ hm}$ și $AD = 3\text{ hm}$ . Aleile principale din acest parc sunt reprezentate de segmentele $EF$ , $DP$ , $DQ$ , $BP$ și $BQ$ , unde $E \in (AB)$ , $F \in (CD)$ astfel încât $AE = CF = 1\text{ hm}$ , iar segmentele $DP$ și $BQ$ reprezintă drumurile cele mai scurte de la punctele $D$ , respectiv $B$ la dreapta $EF$ .

Figura 2: dreptunghiul ABCD cu aleea EF (E pe AB, F pe CD) și perpendicularele DP și BQ pe EF; sunt trasate și DQ și BP.

a)5 p

Calculați lungimea aleii $EF$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $3\sqrt{2}\text{ hm}$

Barem oficial

$EM = 3\text{ hm}$ și $FM = 3\text{ hm}$ , unde $FM \perp AB$ și $M \in (AB)$ 2 p
$EF = \sqrt{3^2 + 3^2} = 3\sqrt{2}\text{ hm}$ 3 p

b)5 p

Arătați că traseul $E \to P \to D$ și aleea $EF$ au aceeași lungime.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$\triangle EMF$ este dreptunghic isoscel, deci $m(\angle FEM) = 45^\circ$ , de unde obținem $m(\angle EFD) = 45^\circ$ 2 p
$\triangle DPF$ este dreptunghic isoscel $\Rightarrow PD = PF$ 1 p
$EP + PD = EP + PF = EF$ , deci traseul $E \to P \to D$ și aleea $EF$ au aceeași lungime2 p

c)5 p

Demonstrați că patrulaterul $DPBQ$ este paralelogram.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$DF = BE$ și $\angle PFD \equiv \angle QEB \Rightarrow \triangle PFD \equiv \triangle QEB$ (IU), deci $DP = BQ$ 3 p
Cum $DP \perp EF$ și $BQ \perp EF$ , obținem $DP \parallel BQ$ , deci $DPBQ$ este paralelogram2 p

← S II, ex. 5 · Ex. 2 → · Toate exercițiile din EN 2015, simularea din 24 februarie 2015 · Toate de la subiectul III · Simulare de 2 ore

Formulele pentru patrulatere · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul II, ex. 4 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$ , cu diagonala $BD$ perpendiculară pe latura $BC$ și $BD \cdot BC = 12\text{ cm}^2$ . Aria paralelogramului $ABCD$ este egală cu:

Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul II, ex. 4 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$ , cu aria egală cu $96\text{ cm}^2$ . Punctele $E$ și $F$ sunt mijloacele laturilor $AB$ , respectiv $AD$ . Aria triunghiului $AEF$ este egală cu:

Paralelogramul ABCD cu diagonala BD; E este mijlocul lui AB, F mijlocul lui AD, iar segmentul EF este trasat.

Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul II, ex. 4 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat trapezul $ABCD$ , cu $AB \parallel CD$ și $AD = BC = DC$ . Măsura unghiului $DAC$ este egală cu $20^\circ$ . Măsura unghiului $ABC$ este egală cu:

Trapezul ABCD cu baza mare AB jos, baza mică DC sus și diagonala AC trasată.

Rezolvă →

Patrulatere Relații metrice în triunghiul dreptunghic Unghiuri Triunghiul: proprietăți și congruență Drepte paralele și perpendiculare în plan

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).