Evaluare Națională 2021 · Matematică · simularea națională · 5 puncte

Subiectul III, exercițiul 6

În figura alăturată este reprezentată o piramidă patrulateră regulată $VABCD$ cu baza $ABCD$ , $AB = VA = 6\text{ cm}$ . Punctele $M$ , $N$ și $P$ sunt mijloacele muchiilor $BC$ , $AD$ , respectiv $VB$ .

Piramida patrulateră regulată VABCD cu O centrul bazei; M, N, P mijloacele lui BC, AD, VB; planele NCV și AMP marcate.

a)2 p

Arată că unghiul dintre dreapta $VB$ și planul $(ABC)$ are măsura de $45^\circ$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$\angle(VB, (ABC)) = \angle VBO$ , unde $\{O\} = AC \cap BD$ 1 p
Triunghiul $VBD$ este dreptunghic isoscel $\Rightarrow \angle(VB, (ABC)) = 45^\circ$ 1 p

b)3 p

Arată că planele $(NCV)$ și $(AMP)$ sunt paralele.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$AMCN$ este paralelogram $\Rightarrow AM \parallel CN$ 1 p
$PM$ este linie mijlocie în $\triangle BCV \Rightarrow PM \parallel CV$ și, cum $CN \parallel MA$ , $CN \cap CV = \{C\}$ și $MA \cap MP = \{M\} \Rightarrow (NCV) \parallel (AMP)$ 2 p

← Ex. 5 · Toate exercițiile din EN 2021, simularea națională · Toate de la subiectul III · Simulare de 2 ore

Formulele pentru corpuri geometrice: elemente și desfășurări · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă $ABCDA'B'C'D'$ , cu baza pătratul $ABCD$ , $AB = 4\text{ cm}$ și $AA' = 4\sqrt{2}\text{ cm}$ .

Prisma dreaptă ABCDA'B'C'D' cu baza pătratul ABCD; sunt trasate segmentele C'B, C'D și BD (punctat).

Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCDA'B'C'D'$ , cu $AB = 8\text{ cm}$ . Punctele $M$ , $N$ și $P$ sunt mijloacele muchiilor $AD$ , $DC$ , respectiv $DD'$ .

Cubul ABCDA'B'C'D' cu M, N, P mijloacele muchiilor AD, DC și DD'; triunghiul MNP este trasat.

Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată piramida regulată $VABCD$ , cu baza $ABCD$ , $VA = AB = 12\text{ cm}$ . Punctul $M$ este mijlocul muchiei $VA$ , iar punctul $N$ este proiecția punctului $M$ pe planul $(ABC)$ .

Piramida patrulateră regulată VABCD; M este mijlocul muchiei VA, iar N este proiecția lui M pe planul bazei.

Rezolvă →

Corpuri geometrice: elemente și desfășurări Unghiuri în spațiu Relații metrice în triunghiul dreptunghic Paralelism și perpendicularitate în spațiu Linii importante în triunghi

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).