Evaluare Națională 2020 · Matematică · testul de antrenament 33 · 10 puncte

Subiectul II, exercițiul 4

Se consideră numerele a=1+12+122+123+124+125a=1+\dfrac12+\dfrac1{2^2}+\dfrac1{2^3}+\dfrac1{2^4}+\dfrac1{2^5} și b=(3−5+2)(3+5−2)+6−210b=(\sqrt3-\sqrt5+\sqrt2)(\sqrt3+\sqrt5-\sqrt2)+6-2\sqrt{10}.

a)5 p

Arătați că a−12⋅a=1−126a-\dfrac12\cdot a=1-\dfrac1{2^6}.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. a−12a=1+12+⋯+125−12(1+12+⋯+125)a-\dfrac12a=1+\dfrac12+\cdots+\dfrac1{2^5}-\dfrac12\left(1+\dfrac12+\cdots+\dfrac1{2^5}\right)3 p
  2. După reducerea termenilor egali, rămâne 1−1261-\dfrac1{2^6}2 p

b)5 p

Arătați că a<ba<b.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

  1. b=(3−(5−2))(3+(5−2))+6−210=3−(5−2)2+6−210=2b=(\sqrt3-(\sqrt5-\sqrt2))(\sqrt3+(\sqrt5-\sqrt2))+6-2\sqrt{10}=3-(\sqrt5-\sqrt2)^2+6-2\sqrt{10}=23 p
  2. a/2=1−1/26a/2=1-1/2^6, deci a=2−1/25<2=ba=2-1/2^5<2=b2 p

· · Toate exercițiile din EN 2020, Test 33 (setul 7) · Toate de la subiectul II · Simulare de 2 ore

Formulele pentru fracții ordinare · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 1 · 5 p

Maria are o sumă de bani. În prima zi cheltuiește un sfert din această sumă. În a doua zi cheltuiește un sfert din suma rămasă. În a treia zi, Maria cheltuiește 4545 de lei și constată că i-a rămas un sfert din suma de bani pe care a avut-o inițial.

Rezolvă →EN 2024 model · Subiectul III, ex. 1 · 5 p

Mihai a cheltuit o sumă de bani în patru zile. În prima zi a cheltuit 20%20\% din întreaga sumă, în a doua zi 30%30\% din suma rămasă, în a treia zi cu 2020 de lei mai mult decât a doua zi, iar în a patra zi a cheltuit ultimii 4444 de lei.

Rezolvă →EN 2024 rezervă · Subiectul I, ex. 5 · 5 p

Patru elevi, George, Anca, Marius și Alina, ordonează crescător numerele a=23a = \dfrac{2}{3}, b=0,5b = 0{,}5, c=0,1(3)c = 0{,}1(3) și d=14d = \dfrac{1}{4}. Răspunsurile date de cei patru elevi sunt prezentate în tabelul de mai jos:

GeorgeAncaMariusAlina
d<c<b<ad < c < b < ac<d<a<bc < d < a < bc<d<b<ac < d < b < ad<b<a<cd < b < a < c

Dintre cei patru elevi, cel care a răspuns corect este:

Rezolvă →

Fracții ordinareRadicaliPuteri și reguli de calcul cu puteriFormule de calcul prescurtat

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).