Evaluare Națională 2020 · Matematică · testul de antrenament 14 · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 2

În Figura 3 este reprezentată o piramidă triunghiulară $VABC$ cu baza triunghiul echilateral $ABC$ , $AB=12\text{ cm}$ și înălțimea $VO$ , unde punctul $O$ este centrul cercului circumscris triunghiului $ABC$ . Punctul $M$ este mijlocul segmentului $BC$ și $VM=6\text{ cm}$ .

Figura 3: piramida triunghiulară VABC, O centrul bazei echilaterale, VO perpendiculară pe bază, M mijlocul lui BC; sunt trasate AM și VM.

a)5 p

Arătați că $AM=6\sqrt3\text{ cm}$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$ABC$ este echilateral și $M$ mijlocul lui $BC$ , deci $AM=\sqrt{AB^2-BM^2}$ 3 p
$AM=\sqrt{144-36}=\sqrt{108}=6\sqrt3\text{ cm}$ 2 p

b)5 p

Arătați că $AV\perp(VBC)$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Din $OA=OB=OC$ și $VO\perp(ABC)$ , obținem $VA=VB=VC$ , deci fețele $VAB$ , $VBC$ , $VAC$ sunt congruente2 p
$VM$ este mediană în $VBC$ și $VM=BC/2$ , deci $VB\perp VC$ . Congruența fețelor dă $VA\perp VB$ și $VA\perp VC$ , așadar $AV\perp(VBC)$ 3 p

c)5 p

Demonstrați că tangenta unghiului dintre dreapta $AM$ și planul $(VBC)$ este egală cu $\sqrt2$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Din $AV\perp(VBC)$ , proiecția lui $AM$ pe plan este $VM$ , deci unghiul căutat este $AMV$ 2 p
$AV\perp VM$ și $AV=\sqrt{AM^2-VM^2}=6\sqrt2\text{ cm}$ , deci $\tan\angle AMV=AV/VM=\sqrt2$ 3 p

← Ex. 1 · Toate exercițiile din EN 2020, Test 14 (setul 3) · Toate de la subiectul III · Simulare de 2 ore

Formulele pentru triunghiul: proprietăți și congruență · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

EN 2026 model · Subiectul III, ex. 4 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cercul de centru $O$ . Punctele $A$ , $B$ , $C$ și $D$ aparțin cercului, astfel încât $AB$ este diametru. Dreptele $CD$ și $AB$ sunt paralele, semidreapta $AC$ este bisectoarea unghiului $BAD$ și $CD = 16\text{ cm}$ .

Cercul de centru O cu diametrul AB și coarda CD paralelă cu AB; patrulaterul ABCD și diagonala AC sunt trasate.

Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 4 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat triunghiul dreptunghic isoscel $ABC$ , cu $AB = AC$ . Punctul $O$ este mijlocul laturii $BC$ , iar punctele $A$ și $D$ sunt de o parte și de alta a dreptei $BC$ , astfel încât $\angle BDC = 90^\circ$ și $\angle BCD = 60^\circ$ .

Triunghiul dreptunghic isoscel ABC (unghiul drept în A) și triunghiul dreptunghic BDC de cealaltă parte a ipotenuzei BC; O este mijlocul lui BC, E este pe BD și sunt trasate AO, OD și CE.

Rezolvă →EN 2026 simulare 2 · Subiectul III, ex. 6 · 5 p

În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă $ABCA'B'C'$ , cu baza triunghiul echilateral $ABC$ , $AB = 12\text{ cm}$ și $AA' = 3\sqrt{3}\text{ cm}$ .

Prisma dreaptă triunghiulară ABCA'B'C'; M este mijlocul muchiei AB și segmentul MC' este trasat punctat.

Rezolvă →

Triunghiul: proprietăți și congruență Relații metrice în triunghiul dreptunghic Paralelism și perpendicularitate în spațiu Unghiuri în spațiu Trigonometrie în triunghiul dreptunghic

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).