Evaluare Națională 2020 · Matematică · testul de antrenament 12 · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 2

În Figura 3 este reprezentat un pătrat $ABCD$ cu latura de $8\text{ cm}$ și $MO\perp(ABC)$ , unde $\{O\}=AC\cap BD$ , cu $MO=4\sqrt6\text{ cm}$ .

Figura 3: pătratul ABCD, diagonalele intersectate în O și punctul M cu MO perpendiculară pe planul pătratului; sunt trasate MB și MC.

a)5 p

Arătați că aria patrulaterului $ABCD$ este egală cu $64\text{ cm}^2$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$\mathcal A_{ABCD}=AB^2$ 2 p
$\mathcal A_{ABCD}=8^2=64\text{ cm}^2$ 3 p

b)5 p

Determinați măsura unghiului dintre dreapta $MB$ și planul $(ABC)$ .

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $60^\circ$

Barem oficial

Din $MO\perp(ABC)$ , unghiul dintre $MB$ și planul $(ABC)$ este $\angle MBO$ 2 p
În triunghiul $MOB$ dreptunghic în $O$ , $\tan\angle MBO=MO/BO=4\sqrt6/(4\sqrt2)=\sqrt3$ , deci $\angle MBO=60^\circ$ 3 p

c)5 p

Știind că punctul $N$ este proiecția punctului $O$ pe planul $(MBC)$ , demonstrați că $N$ este ortocentrul triunghiului $MBC$ .

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

$ON\perp BC$ și $MO\perp BC$ , deci $BC\perp(MON)$ , de unde $BC\perp MN$ , deci $MN$ este înălțime în $\triangle MBC$ 2 p
$BO\perp OC$ și $BO\perp MO$ , deci $BO\perp(MOC)$ și $BO\perp MC$ 1 p
$ON\perp MC$ și $BO\perp MC$ , deci $MC\perp(BON)$ și $MC\perp BN$ . Astfel, $BN$ este o a doua înălțime, deci $N$ este ortocentrul lui $MBC$ 2 p

← Ex. 1 · Toate exercițiile din EN 2020, Test 12 (setul 3) · Toate de la subiectul III · Simulare de 2 ore

Formulele pentru arii și perimetre în plan · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

EN 2026 iunie · Subiectul III, ex. 5 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$ , cu $AB = 10\text{ cm}$ și $AD = 8\text{ cm}$ . Punctele $M$ , $N$ și $T$ sunt mijloacele segmentelor $BC$ , $CD$ , respectiv $AB$ , iar $Q$ este punctul de intersecție a dreptelor $BN$ și $AM$ .

Paralelogramul ABCD cu M mijlocul lui BC, N mijlocul lui CD, T mijlocul lui AB; sunt trasate AM, BN și TN, iar Q este intersecția dreptelor BN și AM.

Rezolvă →EN 2026 model · Subiectul III, ex. 4 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cercul de centru $O$ . Punctele $A$ , $B$ , $C$ și $D$ aparțin cercului, astfel încât $AB$ este diametru. Dreptele $CD$ și $AB$ sunt paralele, semidreapta $AC$ este bisectoarea unghiului $BAD$ și $CD = 16\text{ cm}$ .

Cercul de centru O cu diametrul AB și coarda CD paralelă cu AB; patrulaterul ABCD și diagonala AC sunt trasate.

Rezolvă →EN 2026 rezervă · Subiectul III, ex. 3 · 5 p

Se consideră funcția $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $f(x) = \dfrac{3}{2}x + 3$ .

Sistem de axe xOy cu graficul funcției f, o dreaptă crescătoare care taie axa Ox la stânga originii și axa Oy deasupra originii.

Rezolvă →

Arii și perimetre în plan Patrulatere Unghiuri în spațiu Trigonometrie în triunghiul dreptunghic Paralelism și perpendicularitate în spațiu Linii importante în triunghi

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).