Evaluare Națională 2011 · Matematică · sesiunea iunie · 15 puncte

Subiectul III, exercițiul 2

Figura 3 reprezintă schița unei grădini dreptunghiulare în care sunt plantate flori în trei zone, una în formă de cerc și două în formă de semicerc, care intersectează laturile $[AD]$ și $[BC]$ doar în punctele $A, B, C, D, E$ și $F$ . Zona circulară intersectează cele două zone semicirculare doar în punctele $M$ și $N$ . Se știe că $AB = 16\text{ m}$ .

Figura 3: dreptunghiul ABCD (AB latura verticală din stânga) cu un semicerc pe AB, un semicerc pe DC și un cerc în mijloc tangent la AD în E și la BC în F; cercul atinge semicercurile în M și N; zonele dintre ele sunt hașurate.

a)5 p

O albină așezată pe o floare situată în mijlocul diametrului $[AB]$ zboară în linie dreaptă, mai întâi până la o floare situată în punctul $M$ , apoi mai departe, tot în linie dreaptă, până la o floare situată în punctul $D$ . Calculați distanța parcursă de albină.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $\left(8 + 8\sqrt{10}\right)\text{ m}$

Barem oficial

$OM = 8$ , unde $O$ este mijlocul diametrului $[AB]$ 1 p
$MD = \sqrt{8^2 + 24^2} = 8\sqrt{10}\text{ m}$ 3 p
Distanța parcursă de albină este de $\left(8 + 8\sqrt{10}\right)\text{ m}$ 1 p

b)5 p

Calculați aria suprafeței din grădină plantată cu flori.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: $128\pi\text{ m}^2$

Barem oficial

Sunt $2$ cercuri fiecare cu raza $r = 8\text{ m}$ 2 p
Aria suprafeței plantate cu flori este egală cu $\mathcal{A} = 2\pi r^2 = 128\pi\text{ m}^2$ 3 p

c)5 p

Arătați că aria suprafeței reprezentată de porțiunea hașurată este mai mică decât $111\text{ m}^2$ . ( $3{,}14 < \pi < 3{,}15$ )

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Barem oficial

Aria dreptunghiului este egală cu $512\text{ m}^2$ 2 p
Aria porțiunii hașurate este egală cu $128 \cdot (4 - \pi)\text{ m}^2$ 1 p
$\pi > 3{,}14 \Rightarrow 4 - \pi < 0{,}86 \Rightarrow 128(4 - \pi) < 111\text{ m}^2$ 2 p

← Ex. 1 · Toate exercițiile din Evaluarea Națională 2011, matematică, sesiunea iunie (Varianta 8) · Toate de la subiectul III · Simulare de 2 ore

Formulele pentru cercul · Vrei 5 la fel, în fiecare zi? Problema zilei →

Exersează aceeași temă

Evaluarea Națională 2026, iunie · Subiectul III, ex. 4 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cercul de centru $O$ și raza de $6\text{ cm}$ . Punctele $A$ , $B$ , $C$ și $D$ aparțin cercului, astfel încât dreptele $AB$ și $CD$ sunt perpendiculare. Punctul $M$ este mijlocul coardei $AB$ și $OM = 3\text{ cm}$ .

Cercul de centru O cu coarda AB orizontală și coarda CD verticală, perpendiculare; M este mijlocul coardei AB, segmentul OM este trasat.

Rezolvă →Evaluarea Națională 2026, model · Subiectul III, ex. 4 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cercul de centru $O$ . Punctele $A$ , $B$ , $C$ și $D$ aparțin cercului, astfel încât $AB$ este diametru. Dreptele $CD$ și $AB$ sunt paralele, semidreapta $AC$ este bisectoarea unghiului $BAD$ și $CD = 16\text{ cm}$ .

Cercul de centru O cu diametrul AB și coarda CD paralelă cu AB; patrulaterul ABCD și diagonala AC sunt trasate.

Rezolvă →Evaluarea Națională 2026, simulare 2 · Subiectul III, ex. 4 · 5 p

În figura alăturată este reprezentat cercul de centru $O$ , în care $AB$ și $CD$ sunt diametre perpendiculare. Punctul $M$ aparține arcului mic $BC$ , dreptele $DM$ și $AB$ se intersectează în punctul $N$ , $DN = 6\text{ cm}$ și $MN = 3\text{ cm}$ .

Cercul de centru O cu diametrele perpendiculare AB (vertical) și CD (orizontal); M este pe arcul mic BC, DM taie AB în N; segmentul MB este trasat.

Rezolvă →

Cercul Arii și perimetre în plan Relații metrice în triunghiul dreptunghic Radicali Numere reale: apartenență, comparare, modul

Sursa: subiect oficial, Ministerul Educației: subiectul (PDF) și baremul (PDF). Baremul de pe pagină e cel oficial. Verificat: enunțul și răspunsul oficial se potrivesc cu două rezolvări independente (modele AI).