Acasă Bacalaureat Matematică tehnologic 2021 modelul oficial Bacalaureat 2021 la matematică tehnologic: modelul oficial
Subiectul oficial tehnologic, modelul oficial 2021, cu baremul. Rezolvi pe caiet, scrii rezultatul unde se poate, apoi te verifici pe barem, pas cu pas.
3 ore · 90 de puncte + 10 din oficiu
Pe timp, ca la examen
Simulare de 3 ore
Subiectul I · 1 oră Subiectul II · 1 oră Subiectul III · 1 oră
Ceasul merge și dacă închizi pagina. Poți lua o singură pauză. La final, nota estimată după barem.
Subiectul I Subiectul al II-lea Subiectul al III-lea
Mod examen --:-- Pauză Renunț Predau
Subiectul I 30 p I.1 5 p Arătați ( 0,25 ⋅ 10 − 1 / 2 ) ( 0,25 ⋅ 10 + 1 / 2 ) = 6 (0{,}25\cdot10-1/2)(0{,}25\cdot10+1/2)=6 ( 0 , 25 ⋅ 10 − 1/2 ) ( 0 , 25 ⋅ 10 + 1/2 ) = 6
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) 0,25·10=2,5. Folosește produsul conjugatelor: 2,5²-0,5². 2 p 6,25-0,25=6. 3 p Semnalează o greșeală
I.2 5 p f(x)=x²-ax+1, A(2,1) aparține graficului. Determinați a.
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: a = 2 a=2 a = 2
Criterii (după barem) f(2)=1 dă 4-2a+1=1. 3 p 2a=4, deci a=2. 2 p Semnalează o greșeală
I.3 5 p Rezolvați 3 x + 2 + 3 x = 30 3^{x+2}+3^x=30 3 x + 2 + 3 x = 30
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: x = 1 x=1 x = 1
Criterii (după barem) Scoate 3^x factor comun: (9+1)3^x=30. 3 p 3^x=3, deci x=1. 2 p Semnalează o greșeală
I.4 5 p Un obiect costă 500 lei. Prețul după scumpirea cu 20%?
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: 600 lei
Criterii (după barem) Creșterea este 0,2·500=100 lei. 3 p Prețul final este 500+100=600 lei. 2 p Semnalează o greșeală
I.5 5 p A(0,3),B(8,3),M mijlocul AB. Calculați OM.
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: 5
Criterii (după barem) M=(4,3). 2 p OM=√(4²+3²)=5. 3 p Semnalează o greșeală
I.6 5 p ABC dreptunghic în A, AB=5,AC=10. Calculați aria.
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: 25
Criterii (după barem) Catetele sunt perpendiculare, deci aria este jumătate din produsul lor. 2 p A=5·10/2=25. 3 p Semnalează o greșeală
Subiectul al II-lea 30 p II.1
A = ( 1 3 1 2 ) A=\begin{pmatrix}1&3\\1&2\end{pmatrix} A = ( 1 1 3 2 ) I 2 I_2 I 2
II.1.a 5 p Arătați det A = − 1 \det A=-1 det A = − 1
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Determinantul este 1·2-3·1. 3 p 2-3=-1. 2 p Semnalează o greșeală
II.1.b 5 p Arătați A 2 − 3 A = I 2 A^2-3A=I_2 A 2 − 3 A = I 2
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) A²=[[4,9],[3,7]], iar 3A=[[3,9],[3,6]]. 3 p Diferența este diag(1,1)=I₂. 2 p Semnalează o greșeală
II.1.c 5 p X = ( 1 x y 1 ) X=\begin{pmatrix}1&x\\y&1\end{pmatrix} X = ( 1 y x 1 ) A X − X A = ( − 2 1 − 1 2 ) AX-XA=\begin{pmatrix}-2&1\\-1&2\end{pmatrix} A X − X A = ( − 2 − 1 1 2 )
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: x = y = − 1 x=y=-1 x = y = − 1
Criterii (după barem) Diferența este [[3y-x,-x],[y,x-3y]]. Elementele nediagonale dau -x=1 și y=-1. 2 p x=y=-1; diagonala devine (-2,2), deci toate egalitățile sunt verificate. 3 p Semnalează o greșeală
II.2
Pe R \mathbb R R x ∘ y = 4 x y + x + y x\circ y=4xy+x+y x ∘ y = 4 x y + x + y
II.2.a 5 p Arătați 3 ∘ 2 = 29 3\circ2=29 3 ∘ 2 = 29
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Formula dă 4·3·2+3+2=24+5. 3 p Rezultatul este 29. 2 p Semnalează o greșeală
II.2.b 5 p Demonstrați x ∘ y = ( ( 4 x + 1 ) ( 4 y + 1 ) − 1 ) / 4 x\circ y=((4x+1)(4y+1)-1)/4 x ∘ y = (( 4 x + 1 ) ( 4 y + 1 ) − 1 ) /4
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Dezvoltă numărătorul: 16xy+4x+4y+1-1. 3 p Împărțirea la 4 dă 4xy+x+y, chiar definiția. 2 p Semnalează o greșeală
II.2.c 5 p Determinați x cu x ∘ x ≤ 2 x\circ x\le2 x ∘ x ≤ 2
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: x ∈ [ − 1 , 1 / 2 ] x\in[-1,1/2] x ∈ [ − 1 , 1/2 ]
Criterii (după barem) 4x²+2x≤2 dă 2x²+x-1≤0. 2 p (2x-1)(x+1)≤0, deci x∈[-1,1/2], inclusiv capetele. 3 p Semnalează o greșeală
Subiectul al III-lea 30 p III.1
f ( x ) = e x + x / ( x 2 + 1 ) f(x)=e^x+x/(x^2+1) f ( x ) = e x + x / ( x 2 + 1 ) x ∈ R x\in\mathbb R x ∈ R
III.1.a 5 p Arătați f ′ ( x ) = e x + ( 1 − x 2 ) / ( x 2 + 1 ) 2 f\prime(x)=e^x+(1-x^2)/(x^2+1)^2 f ′ ( x ) = e x + ( 1 − x 2 ) / ( x 2 + 1 ) 2
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Pentru fracție, regula raportului dă (x²+1-2x²)/(x²+1)². 3 p Adăugând derivata exponențialei, obții e^x+(1-x²)/(x²+1)². 2 p Semnalează o greșeală
III.1.b 5 p Determinați asimptota orizontală la -∞.
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: y = 0 y=0 y = 0
Criterii (după barem) e^x→0 când x→-∞, iar x/(x²+1)→0. 3 p Suma tinde la 0, deci asimptota este y=0. 2 p Semnalează o greșeală
III.1.c 5 p Demonstrați ( 2 − e ) / ( 2 e ) ≤ f ( x ) ≤ ( 2 e + 1 ) / 2 (2-e)/(2e)\le f(x)\le(2e+1)/2 ( 2 − e ) / ( 2 e ) ≤ f ( x ) ≤ ( 2 e + 1 ) /2
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Pe [-1,1], 1-x²≥0 și e^x>0, deci f′>0. Funcția este crescătoare. 3 p Valorile extreme sunt f(-1)=1/e-1/2=(2-e)/(2e) și f(1)=e+1/2=(2e+1)/2; rezultă estimarea. 2 p Semnalează o greșeală
III.2
f : [ 0 , + ∞ ) → R f:[0,+\infty)\to\mathbb R f : [ 0 , + ∞ ) → R f ( x ) = ( x + 1 ) x f(x)=(x+1)\sqrt x f ( x ) = ( x + 1 ) x
III.2.a 5 p Arătați ∫ 1 2 f ( x ) / x d x = 5 / 2 \int_1^2 f(x)/\sqrt x\,dx=5/2 ∫ 1 2 f ( x ) / x d x = 5/2
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) Integrandul se reduce la x+1. 3 p [x²/2+x]₁²=4-3/2=5/2. 2 p Semnalează o greșeală
III.2.b 5 p Pentru g=f pe [0,1], arătați volumul 17 π / 12 17\pi/12 17 π /12
Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Criterii (după barem) f²=x(x+1)²=x³+2x²+x. Volumul este π∫₀¹f². 3 p Integrala este 1/4+2/3+1/2=17/12, deci V=17π/12. 2 p Semnalează o greșeală
III.2.c 5 p Determinați a cu ∫ 1 e f ( x ) x ln x / ( x + 1 ) d x = ( e 2 + a ) / 4 \int_1^e f(x)\sqrt x\ln x/(x+1)\,dx=(e^2+a)/4 ∫ 1 e f ( x ) x ln x / ( x + 1 ) d x = ( e 2 + a ) /4
Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.
Verifică-te pe barem Răspuns: a = 1 a=1 a = 1
Criterii (după barem) Integrandul se reduce la x ln x, cu primitiva x²ln x/2-x²/4. 3 p Evaluarea dă e²/4-(-1/4)=(e²+1)/4, deci a=1. 2 p Semnalează o greșeală
Vrei să-ți scriem când apare ceva nou pentru Bacalaureat?
Îți scriem când punem subiecte oficiale noi explicate, în ziua examenului cu grila și rezultatele și, rar, când avem nevoie de ajutorul tău. Cel mult 2 emailuri pe lună, plus zilele de examen. Doar despre Bacalaureat.
Gata! Ți-am trimis un email de confirmare. Dacă nu-l vezi, uită-te și în Promoții sau Spam.