Bacalaureat 2021 la matematică tehnologic: examenul din vară

Subiectul oficial tehnologic, examenul din vară 2021, cu baremul. Rezolvi pe caiet, scrii rezultatul unde se poate, apoi te verifici pe barem, pas cu pas.

3 ore · 90 de puncte + 10 din oficiu

Subiectul (PDF)Baremul (PDF)

Pe timp, ca la examen

Ceasul merge și dacă închizi pagina. Poți lua o singură pauză. La final, nota estimată după barem.

Subiectul ISubiectul al II-leaSubiectul al III-lea

Subiectul I 30 p

I.15 p

Arătați 2(2−(3/4):(1/2))=12(2-(3/4):(1/2))=1.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. Împărțirea este (3/4)·2=3/2.3 p
  2. 2(2-3/2)=2·1/2=1.2 p

I.25 p

f(x)=x+2,g(x)=x-4. Arătați f(1)+g(1)=0.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. f(1)=3 și g(1)=-3.2 p
  2. Suma este 3-3=0.3 p

I.35 p

Rezolvați 24−x=42^{4-x}=4.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x=2x=2

Criterii (după barem)

  1. 4=2², deci 4-x=2.3 p
  2. x=2.2 p

I.45 p

Un produs costă 70 lei. Prețul după scumpirea cu 30%?

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: 91 lei

Criterii (după barem)

  1. Creșterea este 0,3·70=21 lei.3 p
  2. Noul preț este 70+21=91 lei.2 p

I.55 p

A(-3,4),B(-3,0),C(0,4). Calculați perimetrul ABC.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: 12

Criterii (după barem)

  1. AB=4 și AC=3, fiind segmente verticale și orizontale.2 p
  2. BC=√(3²+4²)=5; perimetrul este 4+3+5=12.3 p

I.65 p

AC=2,BC=4,A=30°. Arătați sin B=1/4.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. Teorema sinusurilor dă AC/sin B=BC/sin A.3 p
  2. sin B=AC·sin A/BC=2·(1/2)/4=1/4.2 p

Subiectul al II-lea 30 p

II.1

A=(3−221)A=\begin{pmatrix}3&-2\\2&1\end{pmatrix}, B=(4−331)B=\begin{pmatrix}4&-3\\3&1\end{pmatrix}, I2I_2 identitatea.

II.1.a5 p

Arătați det⁡A=7\det A=7.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. Determinantul este 3·1-(-2)·2.3 p
  2. 3+4=7.2 p

II.1.b5 p

Arătați 2B+I2=3A2B+I_2=3A.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. Suma este [[9,-6],[6,3]].3 p
  2. Aceasta este 3[[3,-2],[2,1]]=3A.2 p

II.1.c5 p

Determinați X cu AX−BX=I2−XAX-BX=I_2-X.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: X=(1−110)X=\begin{pmatrix}1&-1\\1&0\end{pmatrix}

Criterii (după barem)

  1. Grupează (A-B+I₂)X=I₂. Matricea A-B+I₂ este [[0,1],[-1,1]], cu determinantul 1.2 p
  2. Inversa sa este [[1,-1],[1,0]], deci aceasta este unica soluție X.3 p

II.2

Pe R\mathbb R, x∗y=3−(x−3)(y−3)x*y=3-(x-3)(y-3).

II.2.a5 p

Arătați 1∗3=31*3=3.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. Al doilea factor este 3-3=0.3 p
  2. 3-(1-3)·0=3.2 p

II.2.b5 p

Arătați e=2 element neutru.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. x*2=3-(x-3)(-1)=3+x-3=x.2 p
  2. Legea este simetrică, deci și 2*x=x pentru orice x real.3 p

II.2.c5 p

Determinați x cu x∗(x+6)≥3x*(x+6)\ge3.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x∈[−3,3]x\in[-3,3]

Criterii (după barem)

  1. Stânga este 3-(x-3)(x+3)=12-x².2 p
  2. 12-x²≥3 dă x²≤9, deci -3≤x≤3.3 p

Subiectul al III-lea 30 p

III.1

f:(0,+∞)→Rf:(0,+\infty)\to\mathbb R, f(x)=4/x+ln⁡x−5f(x)=4/x+\ln x-5.

III.1.a5 p

Arătați f′(x)=(x−4)/x2f\prime(x)=(x-4)/x^2.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. Derivata este -4/x²+1/x.3 p
  2. Adu la același numitor: (x-4)/x².2 p

III.1.b5 p

Determinați intervalele de monotonie ale lui f.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: Scade pe (0,4], crește pe [4,+∞)

Criterii (după barem)

  1. Numitorul derivatei este pozitiv. Numărătorul x-4 este negativ până la 4 și pozitiv după.2 p
  2. Prin urmare f descrește pe (0,4], apoi crește pe [4,+∞).3 p

III.1.c5 p

Arătați că graficul nu are asimptotă spre +∞.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. f(x)→+∞, dar f(x)/x→0, deoarece ln x/x→0. Dacă o asimptotă y=mx+n ar exista, ar trebui m=0.3 p
  2. Atunci ar trebui ca f(x) să tindă la interceptul finit n, în contradicție cu f(x)→+∞. Nu există nici asimptotă orizontală, nici oblică.2 p

III.2

f(x)=ex+3x2+3f(x)=e^x+3x^2+3, x∈Rx\in\mathbb R.

III.2.a5 p

Arătați ∫12(f(x)−ex−3) dx=7\int_1^2(f(x)-e^x-3)\,dx=7.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. Integrandul este 3x², cu primitiva x³.3 p
  2. [x³]₁²=8-1=7.2 p

III.2.b5 p

Arătați ∫01x(f(x)−3x2) dx=5/2\int_0^1x(f(x)-3x^2)\,dx=5/2.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. Integrandul este xe^x+3x. Prima integrală este [(x-1)e^x]₀¹=1, a doua 3/2.3 p
  2. Suma este 1+3/2=5/2.2 p

III.2.c5 p

Determinați a∈(0,1) cu ∫0adx/(f(x)−f′(x))=1/6\int_0^a dx/(f(x)-f\prime(x))=1/6.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a=1/3a=1/3

Criterii (după barem)

  1. f-f′=3(x-1)². Integrala este (1/3)(1/(1-a)-1)=a/(3(1-a)).3 p
  2. Egalând cu 1/6 obții 2a=1-a, deci a=1/3, admis.2 p
Ai terminat? Bifează pe barem ce ai făcut și află câte puncte ai fi luat. Alte subiecte Matematică tehnologic.