Bacalaureat 2021 la matematică pedagogic: simularea

Subiectul oficial pedagogic, simularea 2021, cu baremul. Rezolvi pe caiet, scrii rezultatul unde se poate, apoi te verifici pe barem, pas cu pas.

3 ore · 90 de puncte + 10 din oficiu

Subiectul (PDF)Baremul (PDF)

Pe timp, ca la examen

Ceasul merge și dacă închizi pagina. Poți lua o singură pauză. La final, nota estimată după barem.

Subiectul ISubiectul al II-leaSubiectul al III-lea

Subiectul I 30 p

I.15 p

a1=1/2a_1=1/2, a4=5a_4=5 într-o progresie aritmetică. Calculați a1+a2+a3a_1+a_2+a_3.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: 6

Criterii (după barem)

  1. Rația este (5-1/2)/3=3/2. Atunci a₂=2 și a₃=7/2.2 p
  2. Suma este 1/2+2+7/2=6.3 p

I.25 p

f(x)=ax+a-2. Determinați a cu f(1)+f(-2)=0.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a=4a=4

Criterii (după barem)

  1. f(1)=2a-2, iar f(-2)=-a-2.2 p
  2. Suma a-4 se anulează pentru a=4.3 p

I.35 p

Rezolvați 1+log⁡6(2x+6)=31+\log_6(2x+6)=3.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x=15x=15

Criterii (după barem)

  1. Domeniul cere x>-3. Logaritmul este 2, deci 2x+6=6²=36.3 p
  2. 2x=30, deci x=15, care verifică domeniul.2 p

I.45 p

Probabilitatea ca un număr natural de o cifră să fie cubul unui număr natural?

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: 3/103/10

Criterii (după barem)

  1. Sunt 1010 cazuri posibile: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,90,1,2,3,4,5,6,7,8,9.2 p
  2. Cuburile de o cifră sunt 0,1,80,1,8: 3 cazuri favorabile.2 p
  3. P=3/10P=3/10.1 p

I.55 p

A(0,2), B(0,6), C(4,2), D mijlocul BC. Determinați dreapta AD.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: y=x+2y=x+2

Criterii (după barem)

  1. Mijlocul este D(2,4), iar panta AD este (4-2)/(2-0)=1.2 p
  2. Dreapta prin A are ecuația y-2=x, deci y=x+2.3 p

I.65 p

Calculați 2sin⁡30∘cos⁡60∘−cos⁡120∘2\sin30^\circ\cos60^\circ-\cos120^\circ.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: 1

Criterii (după barem)

  1. sin30°=cos60°=1/2, iar cos120°=-1/2.3 p
  2. Expresia este 2·1/2·1/2+1/2=1.2 p

Subiectul al II-lea 30 p

II

Legea asociativă pe R\mathbb R este x∗y=(x−1)(y−1)/2+1x*y=(x-1)(y-1)/2+1.

II.15 p

Arătați 2∗(−5)=−22*(-5)=-2.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. Formula dă (2-1)(-5-1)/2+1=-6/2+1.3 p
  2. Rezultatul este -2.2 p

II.25 p

Verificați dacă e=3 este element neutru.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: Da, x*3=3*x=x

Criterii (după barem)

  1. x*3=(x-1)·2/2+1=x.2 p
  2. Formula este simetrică, deci și 3*x=x pentru orice real x.3 p

II.35 p

Determinați a cu a∗5=3a*5=3.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a=2a=2

Criterii (după barem)

  1. Formula dă 2(a-1)+1=3.3 p
  2. 2a-1=3, deci a=2.2 p

II.45 p

Determinați x cu x∗(1−x)≥−5x*(1-x)\ge-5.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x∈[−3,4]x\in[-3,4]

Criterii (după barem)

  1. Stânga este 1-x(x-1)/2. Inegalitatea devine x²-x≤12.2 p
  2. (x-4)(x+3)≤0, deci -3≤x≤4.3 p

II.55 p

Arătați că există infinit de mulți n naturali astfel încât N=(n+1)∗(n+1)N=(\sqrt n+1)*(\sqrt n+1) este natural par.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. Din definiție, N=(√n)²/2+1=n/2+1.2 p
  2. Alege n=4k+2, k∈N: N=2k+2 este natural par. Valorile distincte ale lui k dau infinit de multe valori n.3 p

II.65 p

Determinați tripletele naturale m<n<pm<n<p cu m∗n∗p=8m*n*p=8.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: (2,3,15) și (2,5,8)

Criterii (după barem)

  1. Asociativitatea și forma legii dau (m-1)(n-1)(p-1)=28. Factorii sunt întregi distincți ordonați și cel puțin -1. Un factor nul este imposibil; doi factori negativi distincți nu există în acest domeniu.3 p
  2. Toți sunt pozitivi. Tripletele strict crescătoare cu produsul 28 sunt (1,2,14) și (1,4,7). Adăugând 1 obții (2,3,15) și (2,5,8).2 p

Subiectul al III-lea 30 p

III

A=(13−11)A=\begin{pmatrix}1&3\\-1&1\end{pmatrix}, I2I_2 identitatea, B(n)=AnB(n)=A^n, n natural nenul.

III.15 p

Arătați det⁡A=4\det A=4.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. Determinantul este 1·1-3·(-1).3 p
  2. 1+3=4.2 p

III.25 p

Arătați det⁡(A+xI2)≥3\det(A+xI_2)\ge3 pentru orice x real.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. Matricea are diagonala x+1 și elementele nediagonale 3,-1, deci determinantul este (x+1)²+3.3 p
  2. Pătratul este nenegativ, de unde estimarea cerută, cu egalitate la x=-1.2 p

III.35 p

Arătați că există a real cu B(3)=aI2B(3)=aI_2.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. A²=[[-2,6],[-2,-2]]. Încă o înmulțire cu A dă A³=[[-8,0],[0,-8]].3 p
  2. Așadar B(3)=-8I₂, deci a=-8.2 p

III.45 p

Determinați m cu det⁡(2mA+I2)+2mdet⁡(A−I2)=0\det(2mA+I_2)+2m\det(A-I_2)=0.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: m∈{−1/8,−1/2}m\in\{-1/8,-1/2\}

Criterii (după barem)

  1. Primul determinant este (2m+1)²+12m²=16m²+4m+1, iar det(A-I₂)=3.3 p
  2. Ecuația este 16m²+10m+1=(8m+1)(2m+1)=0, de unde cele două valori.2 p

III.55 p

M=(xyzt)M=\begin{pmatrix}x&y\\z&t\end{pmatrix} și AM=MAAM=MA. Arătați x+y+3z−t=0x+y+3z-t=0.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. Din elementele (1,1) ale egalității rezultă y+3z=0. Din elementele (1,2) rezultă 3t=3x, deci t=x.2 p
  2. Atunci x+y+3z-t=(x-t)+(y+3z)=0.3 p

III.65 p

Arătați că B(6n)B(6n) are elemente naturale pentru orice n natural nenul.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. Folosind A3=−8I2A^3=-8I_2, obții A6n=(A3)2n=(−8)2nI2A^{6n}=(A^3)^{2n}=(-8)^{2n}I_2.3 p
  2. Aceasta este 64^nI₂: diagonala este naturală, iar celelalte elemente sunt 0, tot natural.2 p
Ai terminat? Bifează pe barem ce ai făcut și află câte puncte ai fi luat. Alte subiecte Matematică pedagogic.