Bacalaureat 2021 la matematică pedagogic: modelul oficial

Subiectul oficial pedagogic, modelul oficial 2021, cu baremul. Rezolvi pe caiet, scrii rezultatul unde se poate, apoi te verifici pe barem, pas cu pas.

3 ore · 90 de puncte + 10 din oficiu

Subiectul (PDF)Baremul (PDF)

Pe timp, ca la examen

Ceasul merge și dacă închizi pagina. Poți lua o singură pauză. La final, nota estimată după barem.

Subiectul ISubiectul al II-leaSubiectul al III-lea

Subiectul I 30 p

I.15 p

Arătați 3(1/(3−1)+1/(3+1))=3\sqrt3\left(1/(\sqrt3-1)+1/(\sqrt3+1)\right)=3.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. Suma fracțiilor este 2√3/(3-1)=√3.3 p
  2. Înmulțind cu √3 obții 3.2 p

I.25 p

f(x)=x-2. Determinați n naturale cu f(n)<0.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: n∈{0,1}n\in\{0,1\}

Criterii (după barem)

  1. Condiția este n-2<0, deci n<2.2 p
  2. Numerele naturale admise sunt 0 și 1.3 p

I.35 p

Rezolvați log⁡3(x2−1)=1\log_3(x^2-1)=1.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x∈{−2,2}x\in\{-2,2\}

Criterii (după barem)

  1. Domeniul este x²-1>0, adică |x|>1. Ecuația dă x²-1=3.3 p
  2. x²=4, deci x=-2 sau x=2; ambele sunt admise.2 p

I.45 p

După o scumpire cu 20%, un obiect costă 660 lei. Prețul inițial?

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: 550 lei

Criterii (după barem)

  1. Noul preț este 1,2 ori prețul inițial p.3 p
  2. Din 1,2p=660 rezultă p=550 lei.2 p

I.55 p

Dreapta prin M(2,0), paralelă cu y=3x. Determinați ecuația.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: y=3x−6y=3x-6

Criterii (după barem)

  1. Dreapta paralelă are aceeași pantă 3. Prin M, ecuația este y-0=3(x-2).2 p
  2. Dezvoltând, y=3x-6.3 p

I.65 p

Rombul ABCD are AC=25AC=2\sqrt5, BD=4. Calculați aria.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: 454\sqrt5

Criterii (după barem)

  1. Aria rombului este jumătate din produsul diagonalelor.2 p
  2. (2√5·4)/2=4√5.3 p

Subiectul al II-lea 30 p

II

Pe R\mathbb R, x∗y=3xy+7(x+y)+14x*y=3xy+7(x+y)+14.

II.15 p

Arătați (−3)∗3=−13(-3)*3=-13.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. Termenul 3xy este -27, iar 7(x+y)=0.3 p
  2. Rezultatul este -27+0+14=-13.2 p

II.25 p

Demonstrați comutativitatea legii.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. xy=yx și x+y=y+x pentru toate numerele reale.3 p
  2. Formula 3xy+7(x+y)+14 rămâne aceeași la schimbarea lui x cu y.2 p

II.35 p

Arătați x∗y=3(x+7/3)(y+7/3)−7/3x*y=3(x+7/3)(y+7/3)-7/3.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. Dezvoltă: 3xy+7x+7y+49/3-7/3.3 p
  2. Ultimii termeni dau 42/3=14, deci rezultă definiția.2 p

II.45 p

Determinați x cu x∗x=xx*x=x.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x∈{−7/3,−2}x\in\{-7/3,-2\}

Criterii (după barem)

  1. Ecuația este 3x²+14x+14=x, adică 3x²+13x+14=0.2 p
  2. Factorizează (3x+7)(x+2)=0: x=-7/3 sau x=-2.3 p

II.55 p

Arătați x∗(1/x)≥31x*(1/x)\ge31 pentru x>0.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. Formula dă 17+7(x+1/x). Pentru x>0, (x-1)²/x≥0 implică x+1/x≥2.3 p
  2. Rezultă 17+7·2=31. Egalitatea se atinge la x=1.2 p

II.65 p

Determinați x cu 3x∗3x=833^x*3^x=83.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: x=1x=1

Criterii (după barem)

  1. Pune t=3^x>0. Ecuația devine 3t²+14t-69=0, adică (t-3)(3t+23)=0.2 p
  2. Rădăcina negativă -23/3 este exclusă; t=3 dă x=1.3 p

Subiectul al III-lea 30 p

III

A(a)=(3aa3)A(a)=\begin{pmatrix}3&a\\a&3\end{pmatrix}, a real.

III.15 p

Arătați det⁡A(1)=8\det A(1)=8.

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. Determinantul este 3·3-1·1.3 p
  2. 9-1=8.2 p

III.25 p

Arătați A(0)A(2020)=3A(2020)A(0)A(2020)=3A(2020).

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. A(0)=3I₂.2 p
  2. Înmulțirea la stânga cu 3I₂ triplează fiecare element al lui A(2020).3 p

III.35 p

Determinați a cu det⁡A(a)=−16\det A(a)=-16.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: a∈{−5,5}a\in\{-5,5\}

Criterii (după barem)

  1. Determinantul este 9-a². Ecuația 9-a²=-16 dă a²=25.2 p
  2. Așadar a=-5 sau a=5.3 p

III.45 p

Arătați A(1)+⋯+A(10)=10A(11/2)A(1)+\cdots+A(10)=10A(11/2).

Demonstrează pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Criterii (după barem)

  1. Suma are fiecare element diagonal egal cu 10·3=30. Cele nediagonale sunt 1+...+10=55.2 p
  2. Matricea [[30,55],[55,30]] este 10[[3,11/2],[11/2,3]], adică 10A(11/2).3 p

III.55 p

Determinați m natural pentru care A(m)+A(m2)A(m)+A(m^2) nu este inversabilă.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: m=2m=2

Criterii (după barem)

  1. Suma este [[6,m+m²],[m+m²,6]], cu determinantul 36-(m²+m)².2 p
  2. Cum m²+m≥0, determinantul nul impune m²+m=6. (m-2)(m+3)=0, iar singura rădăcină naturală este 2.3 p

III.65 p

Determinați perechile de întregi (a,b) pentru care suma elementelor lui A(a)A(b)A(a)A(b) este 2.

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te pe barem.

Verifică-te pe barem

Răspuns: (a,b)=(-2,-2) sau (-4,-4)

Criterii (după barem)

  1. Produsul are diagonala 9+ab și celelalte elemente 3a+3b. Suma este 2[9+ab+3a+3b]=2(a+3)(b+3).2 p
  2. Ecuația cere (a+3)(b+3)=1. Factorii întregi sunt amândoi 1 sau amândoi -1, de unde perechile (-2,-2),(-4,-4).3 p
Ai terminat? Bifează pe barem ce ai făcut și află câte puncte ai fi luat. Alte subiecte Matematică pedagogic.